一、NURBS曲线基础
各位同学，今天咱们来聊聊NURBS曲线。说实话，我刚入行那会儿，看到NURBS这几个字母就头疼。后来做了几个高速加工项目，才真正体会到它的价值。
NURBS曲线，全称是非均匀有理B样条。说白了，它就是B样条的升级版。为什么要升级？因为B样条没法精确表示圆锥曲线——比如圆弧、椭圆这些。你想想看，数控加工里圆弧太常见了，B样条只能近似，精度不够。
我个人习惯把NURBS曲线拆成三块来理解：基函数、控制点、节点向量。这三块搞明白了，后面插补算法就顺了。
1.1 B样条基函数
基函数是NURBS的数学根基。它决定了控制点怎么影响曲线形状。我建议用递推公式来理解，别死记硬背。
先看零阶基函数：
N_{i,0}(u) = 1, 如果 u_i ≤ u < u_{i+1}
N_{i,0}(u) = 0, 其他情况这个很简单，就是个开关函数。在某个区间内为1，外面为0。
高阶基函数靠递推：
N_{i,p}(u) = (u - u_i)/(u_{i+p} - u_i) * N_{i,p-1}(u)
+ (u_{i+p+1} - u)/(u_{i+p+1} - u_{i+1}) * N_{i+1,p-1}(u)看着复杂？其实就两个要点：
- 每个高阶基函数由两个低阶基函数组合而成
- 组合系数是u的线性函数
我在项目中遇到过一个问题：基函数计算太慢，影响实时性。后来发现可以预计算非零区间，运行时只算有效部分，速度提升了好几倍。
小技巧：基函数只在局部区间非零。这个性质叫"局部支撑性"。你移动一个控制点，只会影响曲线的一部分。这在调试时特别有用。
1.2 控制点与权因子
控制点就是曲线上的"把手"。你拽着控制点拖，曲线就会跟着变形。但NURBS比B样条多了一个东西——权因子。
权因子是什么？我打个比方：每个控制点都有个"吸引力"。权因子越大，曲线就越靠近这个控制点。权因子为0时，这个控制点完全失效。
数学表达式是这样的：
C(u) = Σ_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) * w_i * P_i / Σ_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) * w_i其中w_i就是权因子。注意看分母，它是个归一化因子。为什么要归一化？因为权因子改变了基函数的"总和"，不归一化的话曲线会飘。
| 权因子取值 | 效果 |
|---|---|
| w_i = 1 | 退化为B样条 |
| w_i > 1 | 曲线被拉向控制点 |
| w_i < 1 | 曲线远离控制点 |
| w_i = 0 | 控制点失效 |
注意：权因子不能为负数。我曾经见过一个案例，有人误设了负权因子，结果曲线出现了奇怪的扭曲。调试了整整两天才发现问题。
1.3 节点向量
节点向量是NURBS的"时间轴"。它定义了参数u的取值范围和分段方式。
节点向量长这样：
U = {u_0, u_1, u_2, ..., u_m}其中m = n + p + 1。n是控制点数量减1，p是次数。
节点向量分三种：
- 均匀节点：节点等距分布。简单，但曲线两端行为不太好控制。
- 准均匀节点：两端重复p+1次，中间均匀。这是最常用的，曲线首尾会经过控制点。
- 非均匀节点：节点任意分布。灵活性最高，可以精确表示圆锥曲线。
我记得有个项目要做圆弧插补，一开始用的均匀节点，怎么调都调不出完美圆弧。后来换成非均匀节点，配合合适的权因子，一次就搞定了。
核心要点：节点向量的重复度决定了曲线的连续性。重复度每增加1，连续性降低1阶。比如三次B样条，内部节点重复度为1时是C2连续，重复度为2时是C1连续。
1.4 知识体系结构图
下面这张图展示了NURBS曲线基础的核心逻辑关系：
这张图把NURBS曲线基础的核心逻辑串起来了。你看，基函数、控制点与权因子、节点向量，三者缺一不可。基函数提供数学框架，控制点提供几何约束，节点向量提供参数化方式。
搞懂了这些，后面讲插补算法时你就知道每一步在干什么了。嗯，今天就到这里，下节课咱们聊NURBS曲线的求值算法。
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