第1章：运动学模型入门

各位同学好，我是你们这门课的主讲工程师。今天咱们来聊聊全向轮底盘最核心的东西——运动学模型。

说实话，我最早接触全向轮的时候，也走了不少弯路。那时候刚毕业，觉得轮子能转，底盘能动，不就完事了吗？结果第一次调试，底盘像个喝醉的螃蟹，横着走、斜着走，完全不听使唤。后来才明白，不懂运动学模型，你连底盘怎么动都控制不了。

好，咱们正式开始。

1.1 底盘坐标系定义

做机器人控制，第一件事就是定规矩。坐标系就是规矩。

我个人习惯用右手定则来定义底盘坐标系：

• X轴：指向底盘正前方
• Y轴：指向底盘正左方
• Z轴：垂直向上

你可能会问，为什么不用别的定义方式？其实都可以，但团队协作时一定要统一。我记得有一次，合作方的工程师用了不同的坐标系定义，结果我们俩的代码拼在一起，底盘直接原地转圈。嗯，从那以后，我每次项目启动都会先确认坐标系定义。

对于全向轮底盘，我们通常只关心平面运动，也就是X轴、Y轴的平移，以及绕Z轴的旋转。这三个自由度，我们称为：

• vx：沿X轴的速度（前进/后退）
• vy：沿Y轴的速度（左移/右移）
• ω：绕Z轴的角速度（左转/右转）

说白了，你给底盘下指令，就是告诉它这三个值是多少。

1.2 轮子速度与底盘速度的关系

好，现在底盘有了坐标系，轮子呢？

全向轮有个特点——每个轮子都能独立驱动。但底盘要动，所有轮子得协同工作。这就引出了核心问题：轮子转速和底盘速度之间，到底是什么关系？

我画了一张图，帮你理解这个关系：

你看，底盘有4个轮子，每个轮子有自己的转速。底盘速度是3个量，轮子转速是4个量。3个输入要控制4个输出？这里其实有个数学上的小技巧——超定系统。不过别担心，实际工程中我们通过轮子布局的对称性，可以解出唯一解。

具体公式是这样的（以四轮全向轮为例）：

// 轮子转速到底盘速度的转换（正运动学）
vx = (ω1 + ω2 + ω3 + ω4) * R / 4
vy = (-ω1 + ω2 + ω3 - ω4) * R / 4
ω  = (-ω1 + ω2 - ω3 + ω4) * R / (4 * L)

// 底盘速度到轮子转速的转换（逆运动学）
ω1 = (vx - vy - ω * L) / R
ω2 = (vx + vy + ω * L) / R
ω3 = (vx + vy - ω * L) / R
ω4 = (vx - vy + ω * L) / R

其中：

• R：轮子半径
• L：轮子到底盘中心的距离
• ω1~ω4：四个轮子的转速

1.3 速度分解与合成概念

好，现在咱们聊聊速度分解与合成。这个概念其实特别直观。

你想想看，底盘要往东北方向走，但轮子只能往前或往后转。怎么办？

答案就是：把东北方向的速度，分解成X轴和Y轴的分量。每个轮子贡献一部分X方向的速度，一部分Y方向的速度，合起来就是东北方向。

我举个例子：

假设底盘要沿45°方向以1m/s的速度移动。那么：

• vx = 1 * cos(45°) ≈ 0.707 m/s
• vy = 1 * sin(45°) ≈ 0.707 m/s

然后把这俩值代入逆运动学公式，算出每个轮子的转速。轮子一转，底盘就沿着45°方向走了。

这里有个容易搞混的地方——角速度ω的合成。平移和旋转是独立的，可以叠加。也就是说：

底盘最终速度 = 平移速度 + 旋转速度

用公式表达就是：

// 底盘上任意一点的速度
V_point = V_translation + ω × r_point

其中r_point是该点相对于底盘中心的位置向量。这个公式在后续章节会反复用到。

1.4 本章小结

好，咱们捋一捋今天的内容：

1. 坐标系：X前、Y左、Z上，三个自由度vx、vy、ω
2. 运动学关系：底盘速度和轮子转速通过公式互相转换
3. 速度分解与合成：把目标速度拆成轮子能执行的动作

这些概念看着简单，但它们是整个全向轮控制的基石。后面讲PID控制、轨迹规划、里程计，全都离不开今天的内容。

我建议你动手写个小程序，输入vx、vy、ω，算算四个轮子的转速。再反过来，输入四个轮子转速，算算底盘速度。来回验证几次，你就彻底理解了。

好了，今天就到这儿。记住：理论要落地，代码要跑通。下次见。

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