第2章：车辆运动学模型

各位同学，欢迎来到第二章。今天我们来聊聊车辆运动学模型——说白了，就是研究车怎么动起来的数学描述。我个人觉得，这是整个横向控制的基础，搞不懂这个，后面PID、MPP啥的都是空中楼阁。

2.1 自行车模型：把四轮简化成两轮

你想想看，一辆车有四个轮子，转向时每个轮子的角度都不一样，分析起来多麻烦。所以工程师们想了个聪明的办法——自行车模型。

什么叫自行车模型？就是把四轮车辆等效成一辆自行车。前轮代表两个前轮的转向效果，后轮代表两个后轮。我刚开始做自动驾驶时，总觉得这个简化太粗暴了，直到有一次在低速园区测试，发现自行车模型的预测精度居然能达到厘米级。嗯，从此我就服了。

说白了，自行车模型只适用于低速场景。高速时轮胎会打滑，那就得用动力学模型了。这个我们后面再讲。

2.2 车辆坐标系定义

搞控制，坐标系必须先说清楚。我见过太多人因为坐标系搞混，调试时车往反方向跑——别问我怎么知道的。

我们通常用三个坐标系：

坐标系	原点	X轴	Y轴	用途
全局坐标系	大地固定点	东向	北向	路径规划、定位
车辆坐标系	车辆后轴中心	车头方向	车身左侧	控制量计算
轮胎坐标系	轮胎接地点	轮胎前进方向	轮胎左侧	受力分析

我个人习惯用车辆坐标系做控制，因为传感器（IMU、轮速计）的输出都是基于车身的。你想想看，如果非要把所有量都转到全局坐标系，计算量翻倍不说，还容易引入误差。

2.3 运动学方程推导

好，重头戏来了。我们推导自行车模型的运动学方程。

先定义几个变量：

• (x, y)：后轴中心在全局坐标系下的位置
• θ：车辆航向角（车头与X轴夹角）
• v：后轴中心速度（纵向速度）
• δ：前轮转角
• L：轴距（前后轴距离）

核心思路是什么？后轴中心的速度方向就是车身方向，前轮的速度方向是前轮指向的方向。这两个速度之间有个几何关系。

看推导：

// 后轴中心速度分解
x_dot = v * cos(θ)
y_dot = v * sin(θ)

// 航向角变化率（角速度）
θ_dot = v * tan(δ) / L

// 写成矩阵形式
[x_dot]   [cos(θ)  0] [v   ]
[y_dot] = [sin(θ)  0] [tan(δ)]
[θ_dot]   [0       1/L]       

嗯，这里要注意：tan(δ) 在 δ 接近 ±90° 时会爆炸。不过实际车辆前轮转角最多 ±40°，所以不用担心。

2.4 前轮转向 vs 后轮转向

大部分乘用车是前轮转向，但叉车、某些AGV是后轮转向。有什么区别？

前轮转向：前轮负责转向，后轮跟着走。车辆质心在前后轴之间，转向时质心轨迹是平滑的。

后轮转向：后轮负责转向，前轮跟着走。质心在后轴前方，转向时质心会往外甩——说白了就是「甩尾」。

我做过一个后轮转向AGV项目，刚开始直接用前轮转向的控制器，结果车在转弯时疯狂振荡。后来才发现，后轮转向的车辆，其运动学方程里的 θ_dot 符号是反的：

// 前轮转向
θ_dot = v * tan(δ) / L

// 后轮转向（注意符号）
θ_dot = -v * tan(δ) / L

2.5 本章知识体系

下面这张图总结了本章的核心逻辑，我建议你多看几遍：

这张图把本章的知识点串起来了。你从自行车模型出发，搞清楚坐标系怎么定义，然后推导运动学方程，最后区分前轮和后轮转向的区别。每一步都是下一步的基础。

好了，第二章就到这里。记住，运动学模型是横向控制的「地基」，地基不牢，房子盖得再高也得塌。下一章我们讲动力学模型——那才是真正考验数学功底的地方。