4. 线性MPC（一）：无约束线性MPC的推导与求解、代价函数设计、预测时域与控制时域的选择

各位工程师朋友，欢迎来到线性MPC的第一讲。

说实话，MPC这个领域内容很多。但咱们得从最基础的开始——无约束线性MPC。为什么先讲这个？因为它是理解所有复杂MPC的基石。我当年刚接触MPC时，就是先把这个啃透，后面学约束、非线性、鲁棒MPC才顺风顺水。

4.1 无约束线性MPC的核心思想

MPC说白了就是：看几步，走一步。

你想想看，开车的时候你会只看眼前一米吗？不会。你会看前方几十米甚至更远，然后决定当前方向盘怎么打。MPC也是这个道理——它基于当前状态，预测未来一段时间的系统行为，然后求解一个优化问题，得到当前时刻的最优控制量。

对于线性系统，如果没有任何约束，这个优化问题有解析解。这就是无约束线性MPC最迷人的地方——不需要迭代求解，直接算出来。

4.2 系统模型与预测

我们先从离散时间线性系统开始：

x(k+1) = A·x(k) + B·u(k)
y(k)   = C·x(k)

这里x是状态，u是控制输入，y是输出。A、B、C是系统矩阵。

嗯，这里要注意：模型精度直接影响MPC性能。我在项目中遇到过，有人直接用一阶近似模型做MPC，结果预测偏差太大，控制效果还不如PID。所以模型辨识这步别偷懒。

4.2.1 预测方程推导

假设当前时刻为k，我们已知状态x(k)。那么未来N_p步的状态可以这样预测：

x(k+1|k) = A·x(k) + B·u(k)
x(k+2|k) = A·x(k+1|k) + B·u(k+1)
         = A²·x(k) + A·B·u(k) + B·u(k+1)
...
x(k+Np|k) = A^Np·x(k) + Σ(A^(Np-i-1)·B·u(k+i))

写成矩阵形式会更清爽。我个人习惯用这种紧凑表示：

X = F·x(k) + G·U

其中：

• X = [x(k+1|k); x(k+2|k); ...; x(k+Np|k)] 是预测状态序列
• U = [u(k); u(k+1); ...; u(k+Nc-1)] 是控制序列（Nc为控制时域）
• F 和 G 是由A、B构成的矩阵

4.3 代价函数设计

代价函数是MPC的「指挥棒」。它告诉优化器：什么才是好的控制。

标准形式是二次型：

J = Σ||x(k+i|k)||²_Q + Σ||u(k+i)||²_R

展开写：

J = Σ[x(k+i|k)^T·Q·x(k+i|k)] + Σ[u(k+i)^T·R·u(k+i)]

这里：

• Q矩阵：状态权重。Q越大，系统越「着急」让状态回到零
• R矩阵：控制权重。R越大，控制动作越「温柔」

4.3.1 Q和R怎么选？

这个问题我经常被问到。说实话，没有万能公式，但有经验法则：

场景	Q/R比值	效果
快速跟踪	Q >> R	响应快，但控制动作大
节能控制	Q << R	动作平缓，但响应慢
平衡型	Q ≈ R	折中方案

4.4 预测时域Np与控制时域Nc的选择

这两个参数是MPC设计的「灵魂参数」。选对了，事半功倍；选错了，事倍功半。

4.4.1 预测时域Np

Np决定了MPC「看多远」。选择原则：

• Np要覆盖系统的主要动态。一般取系统上升时间的1.5~3倍
• Np太小：只看眼前，失去MPC的预见性优势
• Np太大：计算量大，而且远期预测不准（模型误差累积）

我个人的经验是：先取系统时间常数的3~5倍对应的采样步数，然后根据仿真结果微调。

4.4.2 控制时域Nc

Nc决定了MPC「有多少自由度来调整」。选择原则：

• Nc ≤ Np（这是必须的）
• Nc太小：控制自由度不够，可能达不到理想效果
• Nc太大：计算量大，且容易导致控制动作过于激进

4.5 无约束MPC的解析解

好了，重头戏来了。无约束情况下，代价函数J是U的二次函数，最小值可以通过求导得到：

∂J/∂U = 0  →  U* = -(G^T·Q·G + R)^(-1)·G^T·Q·F·x(k)

这就是传说中的MPC控制律。注意，我们只取U*的第一个元素u(k)作用于系统，这就是「滚动优化」的精髓。

写成更直观的形式：

u(k) = -K_mpc·x(k)

其中K_mpc是常数增益矩阵。你看，无约束线性MPC本质上就是一个线性状态反馈控制器！

4.6 完整求解流程

咱们把整个流程串起来：

1. 初始化：设置Np、Nc、Q、R，计算F和G矩阵
2. 在每个采样时刻k：
   • 获取当前状态x(k)
   • 计算增益矩阵K_mpc = (G^T·Q·G + R)^(-1)·G^T·Q·F
   • 计算控制量u(k) = -K_mpc(1,:)·x(k)（取第一行）
   • 将u(k)作用于系统
   • 等待下一个采样时刻

你看，整个过程就是矩阵运算，没有任何迭代。这就是无约束MPC的魅力——简单、快速、可靠。

4.7 本章知识体系

下面这张图总结了本章的核心逻辑：

这张图展示了无约束线性MPC的完整流程：从系统模型出发，构建预测方程，设计代价函数，然后通过解析求解得到控制律，最后滚动优化执行。参数选择（Np、Nc、Q、R）贯穿整个过程，直接影响控制效果。

4.8 小结

这一章我们讲了无约束线性MPC的核心内容：

• 预测模型：用线性模型预测未来状态
• 代价函数：用Q和R权衡状态偏差与控制代价
• 解析解：无约束情况下可以直接算出最优控制
• 参数选择：Np看动态，Nc看自由度，Q和R看偏好

说实话，这些内容看起来简单，但真正用好需要大量实践。我建议你找个简单的例子（比如一阶系统），自己动手推导一遍，再写代码仿真一下。相信我，亲手做一遍比看十遍书都管用。