第二章：MPC数学基础——状态空间模型、离散化方法、二次规划（QP）问题、约束处理
各位同学，欢迎来到第二章。
说实话，MPC（模型预测控制）听起来挺唬人的。但拆开来看，核心就四个东西：状态空间模型、离散化、二次规划、约束处理。搞懂了这四个，你就拿到了MPC的钥匙。
我个人习惯，讲数学之前先讲直觉。咱们先不推公式，先想想：你要控制一个系统，总得知道它长什么样吧？这就是状态空间模型。计算机只能处理离散数据，所以得把连续模型离散化。然后，你要在每一步算出一个最优的控制量，这就是二次规划。最后，你总不能把电机转速拉到一万转吧？这就是约束。
好，咱们一个一个来。
2.1 状态空间模型：系统的“身份证”
状态空间模型，说白了就是描述系统内部状态的数学工具。我刚开始做电机控制时，总觉得用传递函数就够了。直到有一次，我需要同时控制位置和速度，传递函数那套东西根本搞不定。嗯，从那以后，我就老老实实用状态空间了。
标准形式长这样：
连续时间状态空间方程：
ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t) + D u(t)
其中：
x(t) —— 状态向量（比如位置、速度）
u(t) —— 输入向量（比如电压、扭矩）
y(t) —— 输出向量（比如传感器读数）
A —— 系统矩阵（描述内部动态）
B —— 输入矩阵（描述输入如何影响状态）
C —— 输出矩阵（描述状态如何映射到输出）
D —— 前馈矩阵（通常为0）
关键点：状态变量必须能完全描述系统的未来行为。选错了状态变量，你的MPC就废了。
举个例子，一个简单的直流电机模型：
状态变量：x = [θ (角度), ω (角速度)]
输入：u = V (电枢电压)
输出：y = θ (角度)
A = [0, 1; 0, -b/J]
B = [0; Kt/J]
C = [1, 0]
D = [0]
其中 b 是阻尼系数，J 是转动惯量，Kt 是扭矩常数
我在项目中遇到过一个问题：有人把电机电流也当作状态变量，结果模型阶数太高，控制器跑不动。你想想看，MPC是要在线求解的，模型越复杂，计算量越大。所以，状态变量的选择要精炼。
2.2 离散化方法：让计算机听懂你的模型
计算机是离散的，而物理世界是连续的。所以，你得把连续模型变成离散模型。常用的方法有三种：
| 方法 | 精度 | 计算量 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 前向欧拉法 | 低 | 小 | 采样频率高、精度要求低 |
| 后向欧拉法 | 中 | 中 | 数值稳定性要求高 |
| 零阶保持法（ZOH） | 高 | 大 | 工业标准，推荐使用 |
我个人习惯用零阶保持法。为什么？因为它假设输入在两个采样点之间保持不变，这跟实际DAC输出一模一样。我曾经试过用前向欧拉法，结果采样频率不够高时，模型直接发散。嗯，那场面，挺尴尬的。
离散化后的模型长这样：
离散时间状态空间方程：
x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k)
y(k) = C_d x(k) + D_d u(k)
其中：
A_d = e^(A*Ts)
B_d = ∫(0→Ts) e^(A*τ) dτ * B
C_d = C
D_d = D
Ts —— 采样时间
避坑指南：我曾经在STM32上实现MPC，采样时间设成了1ms，结果A_d矩阵计算用了0.5ms。你想想看，控制器还没算完，下一个采样点就到了。所以，采样时间的选择要综合考虑模型复杂度和处理器性能。
2.3 二次规划（QP）问题：MPC的“大脑”
MPC的核心，就是在每个采样时刻，求解一个优化问题。这个优化问题，通常是一个二次规划（QP）问题。
标准形式：
minimize: 0.5 * z^T * H * z + f^T * z
subject to: A_ineq * z ≤ b_ineq
A_eq * z = b_eq
lb ≤ z ≤ ub
其中：
z —— 决策变量（通常是未来N步的控制量和状态量）
H —— Hessian矩阵（必须是半正定）
f —— 梯度向量
A_ineq, b_ineq —— 不等式约束
A_eq, b_eq —— 等式约束
lb, ub —— 上下界约束
为什么是二次规划？因为MPC的目标函数通常是二次型：
J = Σ (x_ref - x)^T * Q * (x_ref - x) + Σ u^T * R * u
Q —— 状态权重矩阵（越大，跟踪越紧）
R —— 输入权重矩阵（越大，控制越平缓）
说白了，就是让状态尽量靠近目标，同时控制量不要太大。我刚开始做时，Q和R都是瞎调的。后来发现，Q和R的比值决定了系统的响应速度和控制能耗。你想想看，Q设得太大，系统响应快但容易震荡；R设得太大，系统反应慢得像老牛拉车。
注意：Hessian矩阵H必须是半正定的，否则QP问题可能无解。我在项目中遇到过，因为Q矩阵设成了负定，结果求解器直接报错。嗯，那一次排查了整整两天。
2.4 约束处理：MPC的“安全锁”
MPC最大的优势之一，就是能显式处理约束。没有约束的MPC，跟LQR没什么区别。
常见的约束类型：
- 输入约束：u_min ≤ u ≤ u_max（比如电机最大电压）
- 状态约束：x_min ≤ x ≤ x_max（比如位置极限）
- 输出约束：y_min ≤ y ≤ y_max（比如传感器量程）
- 变化率约束：Δu_min ≤ Δu ≤ Δu_max（比如加速度限制）
约束处理的核心，就是把它们全部写成线性不等式的形式，塞进QP问题里。
举个例子，输入约束：
u_min ≤ u(k) ≤ u_max
写成矩阵形式：
[ I ] * u ≤ u_max
[ -I ] * u ≤ -u_min
我曾经在无人机项目中，只加了输入约束，没加状态约束。结果无人机在急转弯时，姿态角超出了安全范围，差点炸机。嗯，从那以后，我再也不敢漏掉状态约束了。
经验之谈：约束越紧，可行域越小，QP求解越容易失败。所以，约束要尽量宽松，但必须保证安全。我一般会留10%-20%的余量。
2.5 知识体系总览
下面这张图，是我自己画的MPC数学基础框架。你把它存下来，以后写代码时对照着看。
好了，这一章的内容就到这里。数学基础打牢了，后面写代码才不慌。下一章，咱们直接上代码，用Python实现一个完整的MPC控制器。
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