第3章曲线生成

曲线生成：Python实现S型曲线、摆线曲线与修正梯形曲线

好，咱们进入第三章。前两章我们把电子凸轮的基础概念和数学工具捋了一遍，现在该动真格的了——用Python把三种最常用的运动曲线写出来。

我个人习惯，写曲线生成代码之前，先想清楚一件事：这个曲线用在什么场景？ 你想想看，S型曲线适合启停平稳的场合，摆线曲线适合高速轻载，修正梯形曲线则是两者的折中。搞混了，机器就该抖了。

3.1 S型曲线生成

S型曲线，说白了就是让速度从零慢慢加速，再慢慢减速。它没有加速度突变，所以冲击最小。我在项目中遇到过一台贴片机，用梯形曲线时末端抖动得厉害，换成S型曲线后，定位精度直接提升了0.02mm。

它的核心公式其实不复杂，就是分段函数。我一般把整个运动分成七段：加加速、匀加速、减加速、匀速、加减速、匀减速、减减速。嗯，这里要注意，如果行程太短，匀加速段和匀减速段可能会消失。

import numpy as np

def s_curve_generate(t, T, S):
    """
    生成S型曲线位置
    t: 当前时间
    T: 总时间
    S: 总位移
    """
    # 归一化时间
    tau = t / T
    
    # 七段S型曲线位置公式
    if tau <= 1/8:
        # 加加速段
        pos = 2 * S * tau**2
    elif tau <= 3/8:
        # 匀加速段
        pos = S * (8*tau - 1) / 8
    elif tau <= 1/2:
        # 减加速段
        pos = S * (1 - 2*(1-2*tau)**2) / 2
    elif tau <= 5/8:
        # 匀速段
        pos = S * (4*tau - 1) / 4
    elif tau <= 7/8:
        # 加减速段
        pos = S * (1 - 2*(tau-5/8)**2) / 2
    elif tau <= 1:
        # 匀减速段
        pos = S * (1 - (1-tau)**2)
    else:
        pos = S
    
    return pos

# 生成100个点
t_array = np.linspace(0, 1, 100)
pos_array = [s_curve_generate(t, 1, 100) for t in t_array]

我的小技巧： 调试S型曲线时，先画速度曲线看看。如果速度曲线有尖角，说明分段点没算对。我曾经花了一整天找bug，最后发现是匀加速段的时间比例算错了。

3.2 摆线曲线生成

摆线曲线，也叫Cycloidal曲线。它的特点是速度曲线是正弦波，加速度曲线是余弦波。说白了，就是让运动像车轮上一点滚过的轨迹一样平滑。

为什么用摆线？因为它的加速度变化率（Jerk）是连续的，没有突变。我在做高速分拣机时，摆线曲线是首选。不过要注意，摆线曲线的最大加速度比S型曲线大，所以不适合重载。

def cycloidal_curve_generate(t, T, S):
    """
    生成摆线曲线位置
    t: 当前时间
    T: 总时间
    S: 总位移
    """
    tau = t / T
    
    # 摆线曲线位置公式
    pos = S * (tau - np.sin(2*np.pi*tau) / (2*np.pi))
    
    return pos

# 生成100个点
pos_array = [cycloidal_curve_generate(t, 1, 100) for t in t_array]

避坑指南： 我曾经在一条包装线上用摆线曲线，结果末端执行器在高速时出现振动。后来发现是摆线曲线的加速度在起点和终点不为零，导致与前后运动衔接时产生冲击。解决办法是在曲线两端各加一段过渡段。

3.3 修正梯形曲线生成

修正梯形曲线，是梯形曲线和S型曲线的混血儿。它保留了梯形曲线的高效率，又加入了S型曲线的平滑特性。怎么做到的？就是把梯形曲线的直角拐角处，用圆弧或正弦曲线过渡一下。

我个人觉得，修正梯形曲线是工程中最实用的。它不像S型曲线那么复杂，又比梯形曲线平滑。我在很多项目中都用它，比如数控机床的进给轴、印刷机的滚筒。

def modified_trapezoidal_generate(t, T, S):
    """
    生成修正梯形曲线位置
    t: 当前时间
    T: 总时间
    S: 总位移
    """
    tau = t / T
    
    # 修正梯形曲线位置公式
    if tau <= 1/8:
        # 加速段（正弦过渡）
        pos = S * (tau - np.sin(4*np.pi*tau) / (4*np.pi))
    elif tau <= 3/8:
        # 匀速段
        pos = S * (2*tau - 1/4)
    elif tau <= 1/2:
        # 减速段（正弦过渡）
        pos = S * (1 - (tau - 1/2) + np.sin(4*np.pi*(tau-3/8)) / (4*np.pi))
    else:
        pos = S
    
    return pos

# 生成100个点
pos_array = [modified_trapezoidal_generate(t, 1, 100) for t in t_array]

  关键对比： 三种曲线的最大加速度比值大约是——S型:摆线:修正梯形 = 1:1.57:1.33。摆线最大加速度最大，S型最小。选型时，如果电机扭矩有限，优先考虑S型；如果追求效率，修正梯形更合适。

3.4 三种曲线对比分析

好了，三种曲线都写出来了。咱们做个对比，方便你选型时参考。

特性	S型曲线	摆线曲线	修正梯形曲线
加速度连续性	连续	连续	连续
最大加速度	低	高	中
运动效率	低	中	高
适用场景	重载、高精度	高速轻载	通用场合
代码复杂度	高（7段）	低（1段）	中（4段）

你想想看，如果只是做简单的传送带，用梯形曲线就够了。但要是做精密定位，比如芯片封装，那就必须上S型曲线。摆线曲线嘛，适合那些对加速度不敏感、但要求速度快的场合。

嗯，代码写完了，但别急着用。我建议你先把三种曲线画出来看看，确认位置、速度、加速度曲线都平滑。我曾经在调试时发现加速度曲线有毛刺，最后查出来是浮点数精度问题——把时间步长改小就好了。

调试小技巧： 用matplotlib把位置、速度、加速度三条曲线画在同一张图上。如果速度曲线有折点，说明分段函数没衔接好；如果加速度曲线有跳变，说明Jerk不连续。这两种情况都会导致机器振动。

好了，这一章就到这儿。三种曲线都给你了，代码可以直接拿去用。记住，没有最好的曲线，只有最合适的曲线。选型时多想想你的机器到底需要什么——是精度？是速度？还是两者兼顾？

公众号:蓝海资料掘金营，微信deep3321

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曲线生成：Python实现S型曲线、摆线曲线与修正梯形曲线

3.1 S型曲线生成

3.2 摆线曲线生成

3.3 修正梯形曲线生成

3.4 三种曲线对比分析