第2章相机模型与标定

第二章：相机模型与标定

做视觉SLAM这么多年，我始终觉得相机模型和标定是入门的第一道坎。说白了，你连相机怎么成像的都不清楚，后面那些特征匹配、三角化、位姿估计，全都是空中楼阁。今天咱们就把这块硬骨头啃下来。

2.1 针孔相机模型

先聊聊最经典的针孔相机模型。你想想看，一个暗箱，前面戳个小孔，外面的光线穿过小孔在后面的感光元件上成像——这就是最朴素的相机原理。

数学上怎么描述？其实就四个坐标系的事：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系。我刚开始学的时候，老被这四个坐标系绕晕。后来想通了，其实就是把三维空间里的点，一步步映射到二维像素上。

核心公式就一个：

// 从相机坐标系到像素坐标
u = fx * X/Z + cx
v = fy * Y/Z + cy

这里fx、fy是焦距参数，cx、cy是主点偏移。说白了，就是告诉你三维点投影到图像上，到底落在哪个像素位置。

关键点：针孔模型假设光线是直线传播的。但现实中的镜头不是小孔，是透镜组。这就引出了畸变问题。

2.2 畸变模型

现实中的镜头，尤其是广角镜头，拍出来的照片边缘都是弯的。这就是畸变。我在项目中遇到过最夸张的一次，用鱼眼镜头做AR导航，边缘的建筑物全歪了，根本没法用。

畸变主要分两类：

径向畸变：镜头形状导致的，越靠近边缘越明显。用k1、k2、k3三个参数描述。
切向畸变：镜头和感光元件不平行导致的。用p1、p2两个参数描述。

矫正公式也不复杂：

// 径向畸变矫正
x_corrected = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_corrected = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)

// 切向畸变矫正
x_corrected = x + [2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)]
y_corrected = y + [p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y]

注意：畸变参数不是越多越好。我见过有人用5个径向参数，结果过拟合了，标定结果反而更差。一般用3个径向+2个切向就够了。

2.3 张正友标定法

说到标定，就绕不开张正友。这个方法太经典了，用一张棋盘格照片就能搞定内参和外参。我当年读这篇论文的时候，就觉得这思路真巧妙——用平面标定板代替三维标定物，大大降低了操作门槛。

核心思路是这样的：

拍十几张不同角度的棋盘格照片
提取每张照片的角点坐标
利用单应性矩阵求解内参初值
考虑畸变，用非线性优化精化所有参数

嗯，这里要注意，棋盘格的大小要精确测量。我吃过这个亏——有一次标定完发现内参不对，查了半天，原来是棋盘格格子尺寸量错了2毫米。

个人经验：拍照时让棋盘格占画面1/3到1/2，角度变化要丰富。我习惯拍20张左右，覆盖画面的各个区域。太少容易欠约束，太多也没必要。

2.4 标定工具使用与实操

理论说完了，咱们上手实操。我最常用的工具是OpenCV的标定模块，稳定、高效、文档全。

先看看代码怎么写：

import cv2
import numpy as np
import glob

# 准备棋盘格角点坐标
chessboard_size = (9, 6)  # 内角点数量
square_size = 25.0  # 格子边长，单位mm

# 生成世界坐标系中的角点坐标
objp = np.zeros((chessboard_size[0]*chessboard_size[1], 3), np.float32)
objp[:,:2] = np.mgrid[0:chessboard_size[0], 
                      0:chessboard_size[1]].T.reshape(-1,2)
objp *= square_size

# 存储所有图片的角点
objpoints = []  # 世界坐标
imgpoints = []  # 像素坐标

images = glob.glob('calib_images/*.jpg')

for fname in images:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    
    # 查找棋盘格角点
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, chessboard_size, None)
    
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        # 亚像素精确化
        criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
        corners2 = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11,11), (-1,-1), criteria)
        imgpoints.append(corners2)

# 执行标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)

跑完标定，一定要做两件事：

重投影误差检查：一般小于0.5像素就算合格。我见过0.1像素的，那说明标定质量很高。
去畸变效果验证：拿一张标定板照片，看看边缘的直线是不是变直了。

避坑指南：我曾经用手机拍标定板，自动对焦没关，结果每张照片的焦距都不一样。标定出来的内参乱七八糟。记住：标定过程中焦距必须固定。

下面这张图是我整理的相机标定知识体系，帮你理清思路：

标定完事之后，记得保存结果。我一般存成YAML格式，方便后续读取：

%YAML:1.0
---
image_width: 1920
image_height: 1080
camera_matrix:
  rows: 3
  cols: 3
  data: [718.5, 0, 960.2, 0, 719.3, 540.1, 0, 0, 1]
distortion_coefficients:
  rows: 1
  cols: 5
  data: [-0.283, 0.074, -0.001, 0.002, 0.0]

好了，相机模型和标定这块就聊到这儿。记住一句话：标定是SLAM的基石，地基打不牢，楼盖得再高也得塌。下次咱们聊特征点提取和匹配，那又是另一番天地了。

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第二章：相机模型与标定

2.1 针孔相机模型

2.2 畸变模型

2.3 张正友标定法

2.4 标定工具使用与实操