4. 相机标定基础：张正友标定法原理、标定板设计、OpenCV标定流程

说到视觉定位，有个坎儿你绕不过去——相机标定。我刚开始做SLAM那会儿，总觉得标定是件小事，随便拍几张棋盘格就跑。结果呢？定位误差大得离谱，回环检测也老是抽风。后来才明白，相机标定是整个视觉系统的基石。你想想看，如果相机本身的内参都不准，后面的位姿估计、三角测量、三维重建，那全是空中楼阁。

这一节，我们就来聊聊最经典的张正友标定法。为什么选它？因为它在精度和操作便利性之间取得了很好的平衡。你不需要昂贵的三维标定块，只需要打印一张棋盘格，拍几张不同角度的照片，就能把相机的内参、外参、畸变系数全算出来。说白了，这就是工业界和学术界最通用的标定方案。

4.1 张正友标定法原理

张正友标定法的数学基础，其实就两个核心步骤：

1. 计算单应性矩阵——建立棋盘格平面与图像平面之间的映射关系
2. 分解内参和外参——从单应性矩阵中提取出相机的内部参数和外部参数

具体来说，我们假设棋盘格平面位于世界坐标系的 Z=0 平面上。那么，一个三维点 (X, Y, 0) 到像素坐标 (u, v) 的投影关系可以写成：

s * [u, v, 1]^T = K * [r1, r2, t] * [X, Y, 1]^T

这里的 K 是内参矩阵，r1、r2 是旋转矩阵的前两列，t 是平移向量。这个 3×3 的矩阵 H = K * [r1, r2, t] 就是我们说的单应性矩阵。

嗯，这里要注意：单应性矩阵有 8 个自由度，而一个角点可以提供两个方程。所以理论上，你至少需要 4 个角点才能解出 H。但实际中，棋盘格上通常有几十个角点，我们用最小二乘法来求解，这样更鲁棒。

得到单应性矩阵后，怎么分解出内参呢？这里利用了旋转矩阵的正交性约束。因为 r1 和 r2 是单位正交的，所以：

r1^T * r2 = 0
||r1|| = ||r2|| = 1

把 H = K * [r1, r2, t] 代入这两个约束，就能得到关于内参的线性方程。多张图片提供多个约束，最后用最小二乘法解出内参矩阵 K。

内参解出来后，外参也就顺理成章了：

r1 = λ * K^(-1) * h1
r2 = λ * K^(-1) * h2
t = λ * K^(-1) * h3

其中 λ 是归一化因子。最后再用 SVD 把旋转矩阵投影到 SO(3) 流形上，保证它是真正的旋转矩阵。

4.2 标定板设计

标定板的设计，看似简单，其实有不少门道。我见过有人随便在A4纸上画个网格就去标定，结果精度一塌糊涂。标定板的设计直接影响角点检测的精度和标定结果的稳定性。

常见的标定板类型有两种：

类型	特点	适用场景
棋盘格（Checkerboard）	角点检测简单，亚像素精度高	大多数通用场景
圆点阵列（Circle Grid）	圆心检测精度高，对畸变不敏感	大畸变镜头、鱼眼相机

我个人习惯用棋盘格，因为 OpenCV 的 findChessboardCorners 函数非常成熟，几乎不需要调参。但如果你用的是鱼眼镜头或者广角镜头，圆点阵列可能更合适——圆心的检测不受径向畸变影响，精度更稳定。

标定板的设计参数，我建议这样选：

• 格子数量： 9×7 或 11×8（内角点数量），太少约束不够，太多容易过拟合
• 格子尺寸： 20mm~30mm，太小了角点检测困难，太大了需要更大的标定板
• 标定板尺寸： 覆盖相机视场的 1/3 到 2/3，太小了标定精度差
• 材质： 哑光纸 + 硬质底板，避免反光和弯曲

4.3 OpenCV标定流程

好了，理论讲完了，咱们直接上代码。OpenCV 的标定流程其实就几个步骤，但每一步都有坑。我带你走一遍。

4.3.1 采集标定图片

首先，你需要拍摄 15~20 张不同角度的标定板图片。注意，不是随便拍，要保证：

• 标定板出现在图像的各个区域（左上、右下、中心、边缘）
• 标定板与相机平面的夹角在 0°~45° 之间变化
• 标定板在图像中的大小占 1/4 到 3/4
• 避免运动模糊和过曝

我记得有一次，一个学生拍了 30 张图片，结果标定误差还是很大。我一看，他所有图片的标定板都在图像正中央，角度也几乎没变。这相当于只提供了一个约束，内参当然解不出来。说白了，标定图片的多样性比数量更重要。

4.3.2 角点检测

OpenCV 提供了现成的角点检测函数：

import cv2
import numpy as np

# 棋盘格内角点数量（列数-1，行数-1）
pattern_size = (9, 6)
# 格子尺寸（单位：mm）
square_size = 25.0

# 准备世界坐标系中的角点坐标
objp = np.zeros((pattern_size[0] * pattern_size[1], 3), np.float32)
objp[:, :2] = np.mgrid[0:pattern_size[0], 0:pattern_size[1]].T.reshape(-1, 2)
objp *= square_size

# 存储所有图片的角点
obj_points = []  # 世界坐标系中的点
img_points = []  # 图像坐标系中的点

for img_path in image_paths:
    img = cv2.imread(img_path)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    
    # 查找棋盘格角点
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)
    
    if ret:
        # 亚像素精细化
        criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
        corners = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11, 11), (-1, -1), criteria)
        
        obj_points.append(objp)
        img_points.append(corners)
        
        # 可视化角点
        cv2.drawChessboardCorners(img, pattern_size, corners, ret)
        cv2.imshow('Corners', img)
        cv2.waitKey(100)

4.3.3 执行标定

角点检测完成后，调用 calibrateCamera 函数即可：

# 执行标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    obj_points, img_points, gray.shape[::-1], None, None
)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)
print("重投影误差:", ret)

输出结果中：

• mtx：内参矩阵，包含 fx, fy, cx, cy
• dist：畸变系数，包含 k1, k2, p1, p2, k3
• ret：重投影误差，通常应小于 0.3 像素

如果重投影误差大于 0.5 像素，说明标定质量有问题。我建议你检查一下：角点检测是否准确？标定板是否平整？图片是否足够多样？

4.3.4 畸变校正

标定完成后，可以用内参和畸变系数对图像进行校正：

# 畸变校正
img = cv2.imread('test.jpg')
h, w = img.shape[:2]
new_mtx, roi = cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx, dist, (w, h), 1, (w, h))

# 方法一：直接校正
dst = cv2.undistort(img, mtx, dist, None, new_mtx)

# 方法二：映射校正（更高效）
mapx, mapy = cv2.initUndistortRectifyMap(mtx, dist, None, new_mtx, (w, h), 5)
dst = cv2.remap(img, mapx, mapy, cv2.INTER_LINEAR)

# 裁剪掉黑色边框
x, y, w, h = roi
dst = dst[y:y+h, x:x+w]

4.4 标定质量评估

标定完了，怎么知道结果好不好？我一般看三个指标：

1. 重投影误差： 小于 0.3 像素算合格，小于 0.1 像素算优秀
2. 内参稳定性： 用不同的图片子集标定，看内参的波动范围
3. 畸变校正效果： 看校正后的图像中，直线是否真的变直了

我个人习惯在标定完成后，把标定板放在场景中，用标定结果去反投影角点，看看误差分布。如果误差在图像中心区域很小，边缘区域很大，说明畸变模型可能不够用（比如需要更多的畸变参数）。

好了，相机标定的基础就讲到这里。张正友标定法虽然经典，但实际应用中还有很多细节需要注意。下一节我们会聊聊标定误差的来源和补偿方法，到时候再深入展开。

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