2、畸变数学模型：枕形畸变、桶形畸变、非线性映射的数学表达
好，咱们接着聊。上一章我们看了振镜扫描的物理原理，知道了理想情况下激光点应该乖乖地落在网格点上。但现实嘛，总是不那么完美。
这一章，我们来啃硬骨头——畸变的数学模型。说白了，就是搞清楚激光点到底是怎么“跑偏”的，以及我们怎么用数学语言描述这种跑偏。
2.1 两种最常见的“跑偏”姿势
我在现场调机的时候，见过最多的畸变就两种：枕形畸变和桶形畸变。你想想看，一个正方形的网格，扫描出来变成了枕头形状，或者变成了木桶形状。
核心区别：
- 枕形畸变（Pincushion Distortion）：图像边缘的四个角向外拉伸，像枕头鼓起来。常见于远心镜头或大角度扫描。
- 桶形畸变（Barrel Distortion）：图像边缘向内收缩，像木桶的弧度。常见于广角镜头或小角度扫描。
为什么会这样？嗯，这里要注意。根本原因在于振镜的偏转角度和实际光斑位置不是简单的线性关系。你给振镜一个角度增量，光斑在远处的移动距离并不是恒定的。
我记得有一次，客户拿来的工件边缘总是切不齐。我一看，典型的枕形畸变。边缘的激光能量都偏到外面去了，切割线自然就歪了。
2.2 从几何角度看畸变
咱们先抛开复杂的公式，用几何直觉来理解。
假设理想情况下，激光点位置是 (x, y)。实际位置是 (x', y')。畸变就是这两个位置之间的映射关系。
对于桶形畸变，实际位置会向中心收缩。数学上可以描述为：
x' = x * (1 + k * r²)
y' = y * (1 + k * r²)其中 r² = x² + y²，k 是畸变系数。当 k < 0 时，就是桶形畸变；当 k > 0 时，就是枕形畸变。
这个公式看着简单，但实际项目中，k 往往不是一个常数。它跟扫描角度、场镜焦距都有关系。我建议你把它当成一个初始模型，后面还要加高阶项。
2.3 非线性映射：更通用的数学表达
实际畸变比上面那个公式复杂得多。你想想看，振镜是两个镜片在转，每个镜片都有自己的非线性特性。再加上场镜的像差，整个系统就是一个复杂的非线性映射。
通用的数学表达是这样的：
x' = a0 + a1*x + a2*y + a3*x² + a4*x*y + a5*y² + ...
y' = b0 + b1*x + b2*y + b3*x² + b4*x*y + b5*y² + ...说白了，就是用多项式去拟合实际位置和理想位置之间的关系。阶数越高，拟合越准，但计算量也越大。
我的经验：
在实际项目中，我一般用3阶到5阶的多项式。阶数太低，校正不干净；阶数太高，容易过拟合，反而在边缘出现奇怪的抖动。我曾经试过7阶多项式，结果在角落出现了波浪纹，后来老老实实降到了4阶。
2.4 径向畸变与切向畸变
除了上面说的径向畸变（枕形和桶形都属于径向畸变），还有一种叫切向畸变。这个在振镜扫描中不太常见，但一旦出现就很头疼。
切向畸变，说白了就是图像发生了“扭曲”，像拧毛巾一样。这通常是因为振镜的安装角度有偏差，或者镜片没有完全对准光轴。
数学上，切向畸变的模型是：
x' = x + [2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)]
y' = y + [p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y]其中 p1、p2 是切向畸变系数。这个模型在相机标定中很常见，在振镜校正中也可以借用。
避坑指南：
我曾经遇到一个案例，怎么校正都校不准。后来发现是振镜的安装底座松了，导致镜片有微小的倾斜。这不是数学模型能解决的问题，得先修硬件。所以，遇到校正不准，先检查机械结构，别急着调参数。
2.5 知识体系总览
为了让你更直观地理解这一章的内容，我画了一张图。它把畸变的分类、数学模型和校正思路串在了一起。
2.6 实际项目中的系数求解
有了数学模型，下一步就是求解系数。说白了，就是通过标定得到一组已知的理想点和实际点，然后用最小二乘法去拟合多项式系数。
我习惯用 Python 的 numpy 来做这件事。代码很简单：
import numpy as np
# 假设我们有N个标定点
# ideal_points: 理想坐标 (N x 2)
# actual_points: 实际坐标 (N x 2)
# 构造多项式特征矩阵
def build_poly_matrix(points, degree=3):
N = points.shape[0]
cols = []
for d in range(degree + 1):
for i in range(d + 1):
j = d - i
cols.append((points[:, 0] ** i) * (points[:, 1] ** j))
return np.column_stack(cols)
# 拟合x方向和y方向的系数
A = build_poly_matrix(actual_points, degree=3)
coeff_x, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A, ideal_points[:, 0], rcond=None)
coeff_y, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A, ideal_points[:, 1], rcond=None)这段代码看着简单，但实际用的时候有几个坑。我曾经因为标定点分布不均匀，导致拟合出来的系数在边缘区域误差很大。后来我改用均匀网格标定，效果就好多了。
小技巧：
标定点的数量建议至少是多项式项数的3倍。比如3阶多项式有10个系数，那至少要有30个标定点。我一般用11x11的网格，121个点，足够用了。
好了，这一章我们搞清楚了畸变的数学模型。从枕形、桶形这些直观的畸变，到多项式拟合这种通用的数学工具。下一章，我们会把这些模型变成真正的校正算法。
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