4. 相机标定原理与实战：相机成像模型、内参外参、张正友标定法、使用OpenCV进行标定

各位同学，欢迎来到第四章。这一章我们聊相机标定。

说实话，相机标定是视觉抓取里最基础、也最容易被忽视的一环。我见过不少项目，算法调得再好，标定没做好，抓取精度就是上不去。说白了，相机标定就是给相机“配眼镜”，让它看清真实世界的尺寸和位置。

4.1 相机成像模型：小孔成像的数学表达

先说说相机是怎么看到东西的。本质上，它就是个高级版的小孔成像。

光线从物体反射，穿过镜头中心（光心），投射到感光芯片上。这个过程中，三维世界里的一个点，被映射到了二维图像上。

数学上，我们用四个坐标系来描述这个过程：

• 世界坐标系：你放工件的地方，单位是毫米。
• 相机坐标系：以相机光心为原点，Z轴朝前。
• 图像坐标系：在成像平面上，单位还是毫米。
• 像素坐标系：最终你看到的图像，单位是像素。

从世界坐标到像素坐标，经历了两步变换：

1. 刚体变换（外参）：世界坐标 → 相机坐标。旋转+平移。
2. 透视投影 + 像素缩放（内参）：相机坐标 → 像素坐标。

公式长这样（别怕，OpenCV帮你算）：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X, Y, Z, 1]^T

其中K就是内参矩阵，[R|t]是外参矩阵。s是个缩放因子。

4.2 内参与外参：相机自己的“身份证”

内参矩阵K包含：

• fx, fy：焦距在x、y方向的像素当量
• cx, cy：主点坐标（光心在像素坐标系的位置）
• 畸变系数：k1, k2, p1, p2, k3（径向畸变和切向畸变）

外参矩阵[R|t]包含：

• R：旋转矩阵（3x3），描述相机朝向
• t：平移向量（3x1），描述相机位置

我在项目中遇到过一个问题：换了一个镜头，没重新标定，结果抓取偏差了2毫米。嗯，这就是内参变了。镜头拧松一点，内参都会变。所以每次拆装相机，我建议重新标定一次。

4.3 张正友标定法：用棋盘格搞定一切

张正友标定法是目前最主流的标定方法。为什么？因为它只需要你打印一张棋盘格，拍几张照片就行。

核心思路是这样的：

1. 棋盘格上的角点，世界坐标是已知的（比如格子边长30mm）。
2. 从不同角度拍棋盘格，提取图像中的角点像素坐标。
3. 利用多张照片的对应关系，解算出内参和外参。

你想想看，这其实是个优化问题。我们让重投影误差最小——就是把算出来的3D点投影回图像，看和实际提取的像素点差多少。

4.4 使用OpenCV进行标定：手把手实战

好了，理论说完了，咱们直接上代码。我用的是Python + OpenCV。

第一步：准备棋盘格。打印一张8x6的棋盘格，每个格子30mm。注意，OpenCV的角点检测需要内角点数量，8x6的棋盘格内角点是7x5。

第二步：拍照。从不同角度拍15张左右。

第三步：写代码标定。

import cv2
import numpy as np
import glob

# 棋盘格参数
CHECKERBOARD = (7, 5)  # 内角点数量
criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)

# 世界坐标系中的点
objp = np.zeros((CHECKERBOARD[0] * CHECKERBOARD[1], 3), np.float32)
objp[:, :2] = np.mgrid[0:CHECKERBOARD[0], 0:CHECKERBOARD[1]].T.reshape(-1, 2)
objp = objp * 30  # 格子边长30mm

objpoints = []  # 世界坐标
imgpoints = []  # 像素坐标

images = glob.glob('calib_images/*.jpg')

for fname in images:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, CHECKERBOARD, None)
    
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        corners2 = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11,11), (-1,-1), criteria)
        imgpoints.append(corners2)
        
        cv2.drawChessboardCorners(img, CHECKERBOARD, corners2, ret)
        cv2.imshow('img', img)
        cv2.waitKey(500)

cv2.destroyAllWindows()

# 标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)

跑完这段代码，你就得到了内参矩阵和畸变系数。我建议把结果保存下来，下次直接用。

4.5 标定结果验证：别急着用

标定完，怎么知道准不准？

一个简单方法：计算重投影误差。

mean_error = 0
for i in range(len(objpoints)):
    imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist)
    error = cv2.norm(imgpoints[i], imgpoints2, cv2.NORM_L2) / len(imgpoints2)
    mean_error += error

print("平均重投影误差: ", mean_error/len(objpoints))

误差小于0.5像素，说明标定质量不错。如果大于1个像素，建议重新拍一组照片。

另外，我习惯用标定后的参数去矫正一张图，看看直线是不是变直了：

img = cv2.imread('test.jpg')
h, w = img.shape[:2]
newcameramtx, roi = cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx, dist, (w,h), 1, (w,h))
dst = cv2.undistort(img, mtx, dist, None, newcameramtx)
cv2.imwrite('calibrated.jpg', dst)

肉眼看一下，边缘的畸变是不是消失了。嗯，这一步很直观。

4.6 知识体系总览

下面这张图，帮你理清本章的核心逻辑：

从这张图可以看得很清楚：成像模型是理论基础，内参外参是我们要解算的目标，张正友标定法就是求解的工具。三者缺一不可。

4.7 标定后的注意事项

标定完，别急着部署到产线。我一般会做两件事：

• 保存标定文件：用np.savez保存mtx和dist，下次直接加载。
• 现场验证：放一个已知尺寸的工件，用标定后的参数测量一下，看误差是否在容忍范围内。

另外，如果环境温度变化大（比如冬天和夏天），镜头热胀冷缩，内参可能会漂移。我建议每季度重新标定一次。

好了，这一章的内容就到这里。标定是视觉抓取的基石，基础打牢了，后面的手眼标定、抓取位姿计算才能准确。动手试试吧，拍一组棋盘格照片，跑一遍代码，看看你的相机内参是多少。

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