2. 运动学基础（上）：空间坐标系与变换、Delta机器人结构参数、正运动学推导

各位同学，欢迎来到运动学基础部分。说实话，很多搞机器人的朋友一听到「运动学」三个字就头大，觉得全是公式推导。但我想说，这部分恰恰是Delta机器人控制中最「实在」的内容。你想想看，如果连机器人手爪在哪儿都不知道，你怎么让它去抓东西？

我个人习惯把运动学比作「机器人的眼睛」。没有它，你的控制器就是个瞎子。今天我们先讲上半部分，把坐标系、结构参数和正运动学这几个硬骨头啃下来。

2.1 空间坐标系与变换：给机器人一个「世界观」

Delta机器人是个空间机构，它的动平台在三维空间里运动。所以，我们首先得定义清楚「空间」长什么样。

2.1.1 坐标系定义

我一般会建两个坐标系：

  • 基坐标系 {B}：固定在静平台上，原点在静平台中心，Z轴竖直向上。
  • 动坐标系 {P}：固定在动平台上，原点在动平台中心，姿态随动平台变化。

嗯，这里要注意：Delta机器人的动平台在运动中始终保持水平（只平移，不旋转）。所以{P}的姿态相对于{B}是恒定的。这个特性大大简化了我们的计算。

核心要点：Delta机器人的运动是纯平移运动。动平台只有x、y、z三个自由度，没有旋转自由度。

2.1.2 坐标变换

说白了，正运动学就是求：已知三个主动臂的角度，求动平台中心在{B}下的坐标(x, y, z)。

这里用到的变换很简单，就是平移变换：

P_B = P_P + T

其中P_B是动平台中心在基坐标系下的坐标，P_P是动平台中心在动坐标系下的坐标（其实就是原点(0,0,0)），T是平移向量。

我的经验：虽然Delta只有平移，但我建议你还是把旋转矩阵的框架搭好。万一以后要做变种机构（比如带旋转轴的Delta），代码改起来就方便了。

2.2 Delta机器人结构参数：你得知道你的机器人长什么样

每个Delta机器人都有自己的一套「身体数据」。这些参数是运动学计算的基础，必须精确测量。

2.2.1 关键参数一览

参数符号 含义 典型值（参考）
R 静平台半径（基座中心到主动臂铰点） 200 mm
r 动平台半径（动平台中心到从动臂铰点） 50 mm
L1 主动臂长度 300 mm
L2 从动臂长度（平行四边形结构） 600 mm

我在项目中遇到过一个问题：有个同事把静平台半径和动平台半径搞混了，结果算出来的工作空间完全不对。后来花了整整一天排查，才发现是参数写反了。所以，我建议你把这些参数定义清楚后，第一时间写到配置文件里，并且加上注释。

2.2.2 结构简化模型

Delta机器人的三条支链是完全对称的，间隔120°。所以我们只需要分析一条支链，然后通过旋转矩阵扩展到另外两条。

每条支链的几何关系可以简化为一个平面四连杆机构。嗯，这里要记住：从动臂是平行四边形结构，所以动平台始终平行于静平台。

避坑指南：我曾经遇到过从动臂的平行四边形铰链间隙过大，导致运动学计算的理论位置和实际位置差了2mm。对于高速分拣来说，2mm足以让吸盘抓空。所以，机械精度一定要保证。

2.3 正运动学推导：从角度到位姿

正运动学，说白了就是：给你三个电机的角度θ1、θ2、θ3，你算出动平台中心在空间中的位置(x, y, z)。

推导思路其实很直接——几何约束法。每条支链都约束了动平台中心的一个球面轨迹，三条支链的交点就是动平台中心的位置。

2.3.1 单条支链的几何约束

以第一条支链为例（位于X轴正方向）：

  1. 主动臂铰点A1在基坐标系下的坐标：
    A1 = (R, 0, 0)
  2. 主动臂末端B1的坐标（由θ1决定）：
    B1 = (R + L1*cos(θ1), 0, L1*sin(θ1))
  3. 从动臂约束：B1到动平台铰点P1的距离恒为L2。
    P1在动坐标系下的坐标为(r, 0, 0)，在基坐标系下为：
    P1_B = (x + r, y, z)
  4. 于是得到约束方程：
    (x + r - B1x)² + (y - 0)² + (z - B1z)² = L2²

同理，对另外两条支链（旋转±120°）写出约束方程，就得到了三个方程。

2.3.2 求解方程组

三个方程，三个未知数(x, y, z)。理论上可解。但直接解很麻烦，我一般用数值方法或者几何法。

这里给出一个常用的解析解法思路：

  1. 将三个方程两两相减，消去二次项，得到两个线性方程。
  2. 用这两个线性方程把x和y表示为z的函数。
  3. 代入任意一个原始方程，得到一个关于z的一元二次方程。
  4. 解出z，再回代得到x和y。
注意：一元二次方程会有两个解。一个对应动平台在上方（正常工作位姿），一个对应动平台在下方（奇异位姿）。我们取z较大的那个解。

2.3.3 代码实现示例

下面是我在实际项目中用的正运动学函数（Python伪代码）：

import numpy as np

def forward_kinematics(theta1, theta2, theta3, R, r, L1, L2):
    """
    输入：三个主动臂角度(rad)，结构参数
    输出：动平台中心位置(x, y, z)
    """
    # 计算三条支链的B点坐标
    B1 = np.array([R + L1*np.cos(theta1), 0, L1*np.sin(theta1)])
    B2 = np.array([-(R + L1*np.cos(theta2))/2, 
                   np.sqrt(3)/2*(R + L1*np.cos(theta2)), 
                   L1*np.sin(theta2)])
    B3 = np.array([-(R + L1*np.cos(theta3))/2, 
                   -np.sqrt(3)/2*(R + L1*np.cos(theta3)), 
                   L1*np.sin(theta3)])
    
    # 构建方程组并求解（此处省略具体推导，使用数值求解）
    # 实际项目中我用的是牛顿迭代法
    
    return x, y, z
我的建议：虽然解析法效率高，但数值法（比如牛顿迭代）更鲁棒。我在调试初期先用数值法验证，稳定后再换成解析法提高速度。

2.4 本章小结

这一章我们讲了三个核心内容：

  • 坐标系与变换：基坐标系和动坐标系的定义，以及纯平移变换。
  • 结构参数：R、r、L1、L2这四个参数决定了Delta机器人的「身材」。
  • 正运动学推导：从三个角度到位姿的映射，核心是几何约束法。

说实话，正运动学是Delta控制的基础。你只有知道机器人现在在哪儿，才能规划它下一步去哪儿。下一章我们会讲逆运动学——也就是告诉电机怎么转，才能让动平台到达目标位置。那个在实际控制中更常用。

好，今天就到这儿。有问题欢迎在课程群里讨论。

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