第四节：一阶系统建模——一阶低通滤波器

说实话，一阶低通滤波器是我在工程中用得最多的环节之一。不管是传感器信号去噪，还是PWM波形的平滑处理，它都像个老朋友一样可靠。今天咱们就把它彻底聊透。

4.1 一阶低通滤波器的传递函数

先看连续域的传递函数。一阶低通滤波器，说白了就是一个惯性环节。它的标准形式是：

G(s) = 1 / (τs + 1)

其中 τ 是时间常数，单位是秒。这个公式看着简单，但背后藏着不少门道。

我当年刚入行时，总觉得这公式太简单，没啥好研究的。直到有一次做电机电流环的滤波，发现实际响应总比仿真慢一拍。查了半天，原来是时间常数算错了。嗯，这里要注意——时间常数决定了系统的响应速度，不是随便拍脑袋定的。

4.2 时间常数与截止频率

时间常数 τ 和截止频率 fc 之间有个简单关系：

fc = 1 / (2πτ)

这个公式怎么来的？其实从幅频特性就能推导出来。当 ω = 1/τ 时，幅值下降到 -3dB，也就是原来的 0.707 倍。这个点就是截止频率。

我个人习惯用截止频率来设计滤波器，因为更直观。比如我要滤除 50Hz 的工频干扰，那就把截止频率设在 5Hz 左右，留点余量。

4.3 离散化方法

连续域的东西再好，到了数字系统里也得离散化。常用的方法有三种：

• 前向欧拉法：简单但容易不稳定，我一般不推荐
• 后向欧拉法：稳定，适合大多数场景
• 双线性变换（Tustin）：精度最高，但计算量稍大

我个人最常用后向欧拉法。为什么？因为它在工程实践中足够稳定，而且实现起来代码量最少。你想想看，在嵌入式系统里，每节省一个时钟周期都是好事。

后向欧拉法的离散公式推导如下：

s = (1 - z⁻¹) / Ts

代入 G(s) = 1 / (τs + 1) 得：

G(z) = 1 / (τ * (1 - z⁻¹) / Ts + 1)
     = Ts / (τ + Ts - τ * z⁻¹)
     = (Ts/(τ+Ts)) / (1 - (τ/(τ+Ts)) * z⁻¹)

写成差分方程就是：

y[n] = a * x[n] + (1 - a) * y[n-1]

其中 a = Ts / (τ + Ts)

这个公式我闭着眼睛都能写出来。当年做无人机飞控的时候，每个传感器通道都要过这么一道，写了几十遍。

4.4 Python实现

光说不练假把式。咱们直接上代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

class FirstOrderLowPass:
    """一阶低通滤波器类"""
    
    def __init__(self, fc, Ts):
        """
        fc: 截止频率 (Hz)
        Ts: 采样周期 (s)
        """
        self.fc = fc
        self.Ts = Ts
        self.tau = 1 / (2 * np.pi * fc)
        self.alpha = Ts / (self.tau + Ts)
        self.y_prev = 0
        
    def filter(self, x):
        """单步滤波"""
        y = self.alpha * x + (1 - self.alpha) * self.y_prev
        self.y_prev = y
        return y
    
    def filter_batch(self, x_array):
        """批量滤波"""
        y_array = np.zeros_like(x_array)
        for i, x in enumerate(x_array):
            y_array[i] = self.filter(x)
        return y_array

# 使用示例
Ts = 0.001  # 1ms采样周期
fc = 10     # 10Hz截止频率

lpf = FirstOrderLowPass(fc, Ts)

# 生成测试信号：10Hz正弦波 + 100Hz噪声
t = np.arange(0, 1, Ts)
clean = np.sin(2 * np.pi * 10 * t)
noise = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 100 * t)
signal_noisy = clean + noise

# 滤波
signal_filtered = lpf.filter_batch(signal_noisy)

4.5 频率响应分析

滤波器的好坏，频率响应说了算。咱们用 Python 画一下幅频和相频特性：

# 连续域频率响应
w = np.logspace(0, 3, 1000)  # 频率范围 1~1000 rad/s
s = 1j * w
G_cont = 1 / (lpf.tau * s + 1)

# 离散域频率响应
z = np.exp(1j * w * Ts)
G_disc = lpf.alpha / (1 - (1 - lpf.alpha) * z**(-1))

# 绘制幅频特性
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w/(2*np.pi), 20*np.log10(np.abs(G_cont)), 'b-', label='连续域')
plt.semilogx(w/(2*np.pi), 20*np.log10(np.abs(G_disc)), 'r--', label='离散域')
plt.axvline(fc, color='gray', linestyle=':', label=f'fc={fc}Hz')
plt.grid(True)
plt.ylabel('幅值 (dB)')
plt.legend()
plt.title('一阶低通滤波器频率响应')

# 绘制相频特性
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w/(2*np.pi), np.angle(G_cont, deg=True), 'b-', label='连续域')
plt.semilogx(w/(2*np.pi), np.angle(G_disc, deg=True), 'r--', label='离散域')
plt.grid(True)
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('相位 (度)')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

从频率响应图上能看出几个关键点：

• 在截止频率以下，幅值基本不变（0dB附近）
• 过了截止频率，幅值以 -20dB/十倍频 的斜率下降
• 相位滞后最大到 -90°，在截止频率处正好 -45°

离散域和连续域的响应在低频段几乎重合，但到了高频段（接近奈奎斯特频率）会有偏差。这就是采样效应带来的影响。

4.6 知识体系总览

下面这张图把一阶低通滤波器的核心逻辑串起来了：

这张图把整个知识脉络理清楚了。从连续域的传递函数出发，经过离散化变成可编程的差分方程，再用频率响应来验证设计是否达标，最后落到具体的工程场景中。

一阶低通滤波器看似简单，但它是数字信号处理的基石。把这块吃透了，后面学高阶滤波器、状态观测器都会轻松很多。我在实际项目中，经常把多个一阶低通串联起来用，效果比直接用一个高阶滤波器更稳定。

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