第4章部分分式展开法（三）

4、部分分式展开法（三）：共轭复极点情况，配方法化简，实例演示

好，咱们接着聊部分分式展开法。前两节我们处理了单极点和重极点，那些都是实数极点。但实际工程中，尤其是滤波器设计、控制系统分析里，共轭复极点才是家常便饭。

说实话，我第一次在项目里遇到共轭复极点时，心里也咯噔了一下。当时在做一个音频均衡器，Z变换一展开，分母出现了复数根。嗯，别慌，其实处理起来有套路。

先看一个典型的例子。假设我们有这样一个Z变换：

X(z) = (z² + z) / (z² - 1.2z + 0.72)

分母多项式 z² - 1.2z + 0.72，你算一下判别式：

Δ = (-1.2)² - 4×1×0.72 = 1.44 - 2.88 = -1.44 < 0

判别式小于零，说明极点是一对共轭复数。具体解出来：

p₁ = 0.6 + j0.6
p₂ = 0.6 - j0.6

你看，实部相同，虚部互为相反数。这就是共轭复极点的标准形式。

核心要点：共轭复极点总是成对出现。如果你算出一个复数极点，它的共轭一定也是极点。这是由实系数多项式的性质决定的。

直接对复数极点做部分分式展开，理论上可行，但计算过程会涉及复数运算，容易出错。我个人习惯用配方法，把分母配成完全平方加常数的形式。

怎么配？看这个分母：

z² - 1.2z + 0.72

我教你一个口诀：「一半的平方，加加减减」。

先看一次项系数 -1.2，取一半是 -0.6，平方是 0.36。然后：

z² - 1.2z + 0.72 = (z² - 1.2z + 0.36) + (0.72 - 0.36)
                  = (z - 0.6)² + 0.36

你看，0.36 正好是 0.6²。所以分母变成了 (z - 0.6)² + 0.6²。

为什么要这么干？因为这样我们就可以直接套用Z变换表里的正弦、余弦变换对。

我的经验：配方法的关键是记住这个形式——(z - a)² + b²。其中 a 是极点的实部，b 是极点的虚部绝对值。配出来之后，查表就一目了然了。

好，咱们拿刚才的例子完整走一遍。从 X(z) 到 x[n]，看看每一步怎么操作。

第一步：写出X(z)/z的形式

为什么要除以z？因为Z变换表里常见的变换对都是 z/(z - a) 这种形式。除以z之后，我们更容易凑出标准形式。

X(z)/z = (z² + z) / [z(z² - 1.2z + 0.72)]
       = (z + 1) / (z² - 1.2z + 0.72)

第二步：配方法化简分母

刚才我们已经配好了：

X(z)/z = (z + 1) / [(z - 0.6)² + 0.6²]

第三步：拆成两个标准形式

这里有个技巧。我们要把分子拆成 (z - a) 和常数项的组合，这样才能对应正弦和余弦变换。

令 u = z - 0.6，则 z = u + 0.6

分子：z + 1 = (u + 0.6) + 1 = u + 1.6

所以：
X(z)/z = (u + 1.6) / (u² + 0.6²)
       = u/(u² + 0.6²) + 1.6/(u² + 0.6²)

第四步：查表求逆变换

还记得Z变换表里的这两个变换对吗？

Z变换形式	对应序列
z / (z² + b²)	cos(bn) · u[n]
b / (z² + b²)	sin(bn) · u[n]

注意，我们的变量是 u，不是 z。但没关系，形式是一样的。把 u 看作 z，b = 0.6：

第一项：u/(u² + 0.6²)  →  cos(0.6n) · u[n]
第二项：1.6/(u² + 0.6²) →  (1.6/0.6) · sin(0.6n) · u[n]

第五步：回代得到 x[n]

别忘了，u = z - 0.6，所以逆变换时要考虑这个偏移。实际上，u/(u² + b²) 对应的是 aⁿ · cos(bn) 的形式，其中 a 是极点的实部。

最终结果：

x[n] = (0.6)ⁿ · [cos(0.6n) + (1.6/0.6) · sin(0.6n)] · u[n]

化简一下：

x[n] = (0.6)ⁿ · [cos(0.6n) + 2.667 · sin(0.6n)] · u[n]

注意：我曾经在这里栽过跟头。回代时一定要记得乘上 (0.6)ⁿ 这个衰减因子。共轭复极点对应的时域响应，一定是衰减振荡的形式。如果极点的模大于1，系统就不稳定了。

为了让你更直观地理解共轭复极点部分分式展开的完整流程，我画了一张图：

做共轭复极点的部分分式展开，有几个地方特别容易出错。我把自己踩过的坑分享给你：

配方法别配错——有一次我配 z² - 1.4z + 0.85，一次项系数一半是 -0.7，平方是 0.49，结果常数项 0.85 - 0.49 = 0.36，开方是 0.6。嗯，配出来是 (z - 0.7)² + 0.6²。每一步都要仔细算。
分子拆分要小心——拆成 (z - a) 和常数项时，注意系数别算错。我建议你拆完之后，反着乘回去验证一下。
查表时注意变量替换——我们用的是 u，不是 z。但变换对的形式是一样的，别被变量名搞晕了。
别忘了乘衰减因子——这是最容易被忽略的。共轭复极点对应的时域响应，一定包含 rⁿ 项，其中 r 是极点的模。

总结一下：共轭复极点不可怕。配方法把分母化成 (z - a)² + b²，分子拆成 (z - a) 和常数项，然后查表得到正弦余弦组合，最后乘上 aⁿ 衰减因子。就这么简单。

好了，这一节的内容就到这里。配方法是个好工具，建议你多练几道题，手感自然就来了。