4、梯形速度规划：梯形速度曲线的数学模型、加速/匀速/减速阶段计算

梯形速度曲线，说白了就是运动控制里最经典、最常用的速度规划方式。你想想看，一个电机从静止加速到目标速度，跑一段匀速，再减速停下来——整个过程的速度-时间图像就像一个梯形，所以叫梯形速度曲线。

我个人习惯把这种规划叫做「三段式」：加速段、匀速段、减速段。简单、直观、计算量小，非常适合点位运动（Point-to-Point Motion）。

4.1 梯形速度曲线的数学模型

先看一个典型的梯形速度曲线长什么样。横轴是时间 t，纵轴是速度 v。

图中 t₀ 到 t₁ 是加速段，t₁ 到 t₂ 是匀速段，t₂ 到 t₃ 是减速段。整个运动的总时间就是 t₃ - t₀。

核心参数就这几个：

• v_max：最大速度（目标速度）
• a：加速度（加速段和减速段通常取相同值）
• s_total：总位移
• t_acc：加速时间
• t_dec：减速时间
• t_const：匀速时间

4.2 加速阶段计算

加速阶段从速度 0 开始，以恒定加速度 a 加速到 v_max。这个阶段的时间 t_acc 怎么算？

很简单：

t_acc = v_max / a

加速段的位移：

s_acc = 0.5 * a * t_acc² = 0.5 * v_max² / a

我在项目中遇到过一个问题：有些工程师直接拿 v_max 和 a 算 t_acc，结果发现总位移不够，梯形变成了三角形。嗯，这里要注意——如果总位移太小，可能根本跑不到 v_max 就得开始减速了。

4.3 匀速阶段计算

匀速阶段相对简单。如果总位移足够大，加速到 v_max 后，会以 v_max 匀速跑一段。

匀速时间怎么算？

s_const = s_total - s_acc - s_dec
t_const = s_const / v_max

这里有个隐含条件：s_const 必须大于等于 0。如果算出来是负数，说明总位移不够，跑不到 v_max，这时候就要用三角形速度曲线了。

你想想看，如果 s_const 是负数，意味着什么？意味着你还没加速到 v_max 就得开始减速了。这种情况在实际工程中很常见，尤其是短距离运动。

4.4 减速阶段计算

减速阶段和加速阶段是对称的。假设减速加速度也是 a（通常如此），那么：

t_dec = v_max / a
s_dec = 0.5 * a * t_dec² = 0.5 * v_max² / a

减速段从 t₂ 时刻开始，到 t₃ 时刻结束。速度从 v_max 线性下降到 0。

减速段的实时速度：

v(t) = v_max - a * (t - t₂)   (t₂ ≤ t ≤ t₃)

减速段的实时位置：

s(t) = s(t₂) + v_max * (t - t₂) - 0.5 * a * (t - t₂)²

4.5 完整计算流程

把三个阶段串起来，完整的梯形速度规划计算流程如下：

1. 输入参数：总位移 s_total、最大速度 v_max、加速度 a
2. 计算加速/减速时间：t_acc = t_dec = v_max / a
3. 计算加速/减速位移：s_acc = s_dec = 0.5 * v_max² / a
4. 判断是否达到 v_max：
   • 如果 s_acc + s_dec ≤ s_total：可以到达 v_max，有匀速段
   • 如果 s_acc + s_dec > s_total：无法到达 v_max，使用三角形规划
5. 计算匀速段：s_const = s_total - s_acc - s_dec，t_const = s_const / v_max
6. 输出时间节点：t₀=0, t₁=t_acc, t₂=t_acc+t_const, t₃=t_acc+t_const+t_dec

下面是一个简单的 Python 实现：

def trapezoidal_profile(s_total, v_max, a):
    # 计算加速/减速参数
    t_acc = v_max / a
    s_acc = 0.5 * a * t_acc**2
    s_dec = s_acc
    
    # 判断是否可达 v_max
    if s_acc + s_dec <= s_total:
        # 梯形规划
        s_const = s_total - s_acc - s_dec
        t_const = s_const / v_max
        t_total = 2 * t_acc + t_const
        return {
            'type': 'trapezoidal',
            't0': 0, 't1': t_acc, 't2': t_acc + t_const, 't3': t_total,
            'v_max': v_max, 'a': a
        }
    else:
        # 三角形规划（达不到 v_max）
        t_acc_tri = (s_total / a) ** 0.5
        v_peak = a * t_acc_tri
        return {
            'type': 'triangular',
            't0': 0, 't1': t_acc_tri, 't2': 2 * t_acc_tri,
            'v_peak': v_peak, 'a': a
        }

4.6 梯形规划的优缺点

优点	缺点
计算简单，实时性好	加速度突变，有冲击
参数直观，容易调试	加减速段连接处有 jerk 无限大
适合点位运动	高速时振动较大
代码实现容易	不适合对平滑度要求高的场景

说白了，梯形规划就是「够用就好」的典型代表。如果你的应用对运动平滑度要求不高，比如传送带、简单的搬运、点胶机等，梯形规划完全够用。但如果是高精度加工、激光切割、3D打印这些对轨迹平滑度有要求的场景，我建议你考虑 S 形速度规划。

嗯，关于梯形速度规划，核心内容就这些。记住三个关键点：加速段、匀速段、减速段的计算逻辑，以及判断是否可达 v_max 的条件。下次遇到需要做速度规划的项目，先拿梯形规划试试，简单可靠，不容易出错。

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