2、电机数学模型回顾：PMSM的dq轴数学模型，高频激励下的阻抗模型
好，咱们进入正题。这一节，我打算带大家把PMSM的数学模型再过一遍。你可能会说：“这玩意儿我早就会了。” 别急，咱们这次的重点不一样——我们要看的是，高频信号下，电机模型长什么样。
搞高频注入，如果连这个底层的阻抗模型都搞不清楚，后面调试起来会非常痛苦。我自己就吃过这个亏，所以咱们先把地基打牢。
2.1 同步旋转坐标系下的电压方程
先回顾最基础的东西。PMSM在dq坐标系下的电压方程，长这样：
ud = Rs * id + Ld * (did/dt) - ωe * Lq * iq
uq = Rs * iq + Lq * (diq/dt) + ωe * (Ld * id + ψf)
这里面：
- ud, uq：d轴和q轴的电压
- id, iq：d轴和q轴的电流
- Rs：定子电阻
- Ld, Lq：d轴和q轴的电感
- ωe：电角速度
- ψf：永磁体磁链
这个方程，说白了就是电机的“牛顿第二定律”。它描述了电压怎么产生电流，电流又怎么产生反电动势。
重点来了： 在低速或者零速时，ωe ≈ 0。这时候反电动势项（ωe * Lq * iq 和 ωe * Ld * id）几乎为零。你想想看，没有反电动势，你怎么靠基频激励来估算位置？根本估不准。这就是为什么我们要用高频注入。
2.2 高频激励下的简化模型
当我们注入一个高频电压信号（比如1kHz的正弦波）时，情况就变了。
高频下，电感的阻抗（ωh * L）会变得很大，而电阻Rs相对来说就小得多。所以，高频模型可以忽略电阻和反电动势。
嗯，这里要注意：不是真的忽略，而是近似。在工程上，这种近似足够用了。
简化后的高频电压方程变成：
udh ≈ Ld * (didh/dt)
uqh ≈ Lq * (diqh/dt)
其中，udh, uqh 是高频电压分量，idh, iqh 是高频电流响应。
写成阻抗形式，就是：
Zdh = j * ωh * Ld
Zqh = j * ωh * Lq
你看，高频下，电机就变成了一个纯电感。而且d轴和q轴的电感不一样（Ld ≠ Lq），这就是我们做高频注入的物理基础。
我的经验： 我在调试一个表贴式电机（SPMSM）时，发现Ld和Lq几乎相等，高频注入效果很差。后来换了内置式电机（IPMSM），凸极率（Lq/Ld）大概在1.5左右，效果一下就出来了。所以，凸极率是关键。
2.3 高频电流响应与位置信息
我们注入的是高频电压，但测量的是高频电流。为什么？因为电流里藏着位置信息。
假设我们在估计的dq坐标系（γδ坐标系）下注入一个高频电压：
uγh = Vh * cos(ωh * t)
uδh = 0
那么，高频电流响应会是：
iγh = (Vh / (ωh * Ld)) * sin(ωh * t) + (Vh / (ωh * Lq)) * sin(ωh * t) * cos(2 * Δθ)
iδh = (Vh / (ωh * Lq)) * sin(ωh * t) * sin(2 * Δθ)
这里面，Δθ 是估计位置和实际位置之间的误差角。
你看，iδh 里直接包含了 sin(2 * Δθ)。当 Δθ = 0 时，iδh = 0。这就是我们做位置跟踪的依据。
避坑指南： 我曾经犯过一个低级错误——把注入频率选得太高，结果电流采样跟不上，算出来的iδh全是噪声。后来我把频率降到500Hz，采样频率提到10kHz，问题就解决了。记住：注入频率不能超过采样频率的1/10。
2.4 阻抗模型的工程意义
搞清楚了高频阻抗模型，你就能理解：
- 为什么选方波注入？ 因为方波的高频分量更丰富，响应更快。
- 为什么需要滤波器？ 因为高频电流里混着基频分量，得用带通滤波器把它们分开。
- 为什么凸极率小的电机难搞？ 因为Ld和Lq太接近，iδh信号太弱，信噪比低。
我个人习惯，在开始仿真之前，先把电机的Ld、Lq参数测准。用LCR表在1kHz下测一下，比看datasheet靠谱得多。
2.5 小结
这一节，我们回顾了：
- PMSM的dq轴电压方程
- 高频激励下的简化阻抗模型
- 高频电流响应如何携带位置信息
- 阻抗模型对工程实践的指导意义
说白了，高频注入的核心就是利用Ld和Lq的不对称性。你把这个想明白了，后面看各种注入算法，就一通百通了。
下一节，咱们开始讲具体的注入信号设计，包括方波和正弦波的选择，以及注入频率的选取原则。到时候我会拿一个实际项目里的参数，带大家手算一遍。