2、线性MPC理论：线性状态空间模型、预测方程推导、代价函数设计、约束处理

好，咱们进入正题。线性MPC，说白了就是模型预测控制里最基础、最成熟的那一套。你想想看，很多工业场景下，系统本身虽然不是严格线性的，但在工作点附近用线性模型去近似，效果已经足够好了。我个人习惯，做项目第一步就是先把模型线性化，省得后面自找麻烦。

2.1 线性状态空间模型

咱们先从最熟悉的离散时间状态空间模型说起。为什么用离散的？因为控制器是数字的，采样周期固定，天然就是离散的。

标准形式长这样：

x(k+1) = A x(k) + B u(k)
y(k)   = C x(k) + D u(k)

这里：

• x(k) 是状态向量，维度 n×1。比如电机的位置、速度。
• u(k) 是控制输入，维度 m×1。比如电压、电流。
• y(k) 是系统输出，维度 p×1。比如你关心的角度。
• A 是系统矩阵，n×n。描述状态怎么自演化。
• B 是输入矩阵，n×m。描述控制量怎么影响状态。
• C 是输出矩阵，p×n。描述哪些状态被观测到。
• D 是前馈矩阵，p×m。大多数情况下是零矩阵。

我在项目中遇到过一个问题：有人直接把连续系统模型拿过来用，采样周期一长，预测全乱套了。记住，这里的A和B必须是离散化之后的。常用的方法有零阶保持器法（ZOH），或者直接用欧拉法近似：

A_d = I + A_c * Ts
B_d = B_c * Ts

嗯，这里要注意，欧拉法只在采样周期足够小时才准。如果Ts大了，建议用c2d函数做精确离散化。

2.2 预测方程推导

有了模型，下一步就是预测未来。说白了，就是根据当前状态x(k)，和未来一系列控制输入u(k), u(k+1), ...，算出未来的状态x(k+1), x(k+2), ...。

咱们定义预测时域为N。那么从k时刻开始，未来N步的状态可以写成：

x(k+1) = A x(k) + B u(k)
x(k+2) = A x(k+1) + B u(k+1) = A^2 x(k) + A B u(k) + B u(k+1)
x(k+3) = A^3 x(k) + A^2 B u(k) + A B u(k+1) + B u(k+2)
...
x(k+N) = A^N x(k) + A^(N-1) B u(k) + ... + B u(k+N-1)

写成紧凑的矩阵形式，就是所谓的预测方程：

X = F x(k) + G U

其中：

• X = [x(k+1); x(k+2); ...; x(k+N)]，维度 Nn×1
• U = [u(k); u(k+1); ...; u(k+N-1)]，维度 Nm×1
• F = [A; A^2; ...; A^N]，维度 Nn×n
• G 是一个下三角块矩阵，维度 Nn×Nm

这个G矩阵长什么样？我写个伪代码你感受一下：

G = [B, 0, 0, ..., 0;
     A B, B, 0, ..., 0;
     A^2 B, A B, B, ..., 0;
     ...
     A^(N-1) B, A^(N-2) B, ..., B]

为什么是下三角？因为未来的控制输入不能影响过去的状态。这个因果关系一定要搞清楚。

2.3 代价函数设计

预测做好了，接下来就是「怎么才算好」。代价函数，就是量化控制性能的尺子。

标准的二次型代价函数长这样：

J = sum_{i=1}^{N} [ x(k+i)^T Q x(k+i) + u(k+i-1)^T R u(k+i-1) ]

这里：

• Q 是状态权重矩阵，半正定。越大，系统越「着急」让状态回到零。
• R 是输入权重矩阵，正定。越大，控制动作越「温柔」。

你想想看，如果Q很大R很小，控制器会拼命用大电压去调节，响应快但可能震荡。反过来，R很大Q很小，系统就慢吞吞的，像个老爷车。

在实际项目中，我一般这样调参：

1. 先把R固定，比如设为单位矩阵。
2. Q用对角线矩阵，先设成单位阵，然后根据物理量纲调整。比如位置误差权重给10，速度误差权重给1。
3. 跑仿真，看响应。如果震荡，增大R；如果太慢，增大Q。

把预测方程代入代价函数，可以写成关于U的二次型：

J = U^T H U + 2 x(k)^T f U + constant

其中：

• H = G^T Q_bar G + R_bar
• f = G^T Q_bar F
• Q_bar和R_bar是块对角矩阵，由Q和R重复N次组成。

这个形式，就是标准的二次规划（QP）问题。后面求解就交给求解器了。

2.4 约束处理

线性MPC最大的优势之一，就是能显式处理约束。没有约束的MPC，其实和LQR差不多。有了约束，才是真正的MPC。

常见的约束有三类：

约束类型	数学表达	物理含义
输入约束	u_min ≤ u(k) ≤ u_max	电机最大电压、阀门最大开度
输出约束	y_min ≤ y(k) ≤ y_max	位置不能超限、温度不能过高
状态约束	x_min ≤ x(k) ≤ x_max	速度限制、角度限制

把这些约束写成关于U的线性不等式：

A_ineq U ≤ b_ineq

举个例子，输入约束：

u_min ≤ u(k) ≤ u_max
u_min ≤ u(k+1) ≤ u_max
...
u_min ≤ u(k+N-1) ≤ u_max

写成矩阵形式就是：

[ I; -I ] U ≤ [ u_max * ones(N,1); -u_min * ones(N,1) ]

输出约束稍微复杂一点，因为输出是状态的线性组合：

y(k+i) = C x(k+i) = C ( A^i x(k) + ... )

最终也能写成关于U的线性不等式。

2.5 完整的MPC优化问题

把上面所有东西拼起来，线性MPC在每个采样时刻要解决的优化问题就是：

min_U   U^T H U + 2 x(k)^T f U
s.t.    A_ineq U ≤ b_ineq

这是一个标准的凸二次规划问题。求解之后，取U的第一个元素u(k)作为实际控制量施加到系统上。下一时刻，重新测量状态，再求解一次。这就是滚动时域控制的核心思想。

嗯，说到这里，我想起刚入行时的一个误区：以为MPC是一次性算完所有控制量然后一股脑全用上。其实不是的，每次只取第一步，剩下的都扔掉。为什么？因为模型有误差，预测不准，必须不断用新测量值修正。

下一章，咱们会聊怎么实际求解这个QP问题，以及代码实现上的细节。到时候我会分享一些我在嵌入式平台上跑MPC的实战经验，包括怎么选求解器、怎么处理计算延时等等。敬请期待。