第4章传统时序模型

第4章：传统时序模型：ARIMA模型原理、SARIMA模型、模型定阶与诊断、在简单轨迹预测中的应用

说实话，很多刚入行的朋友一上来就追Transformer、LSTM这些深度学习模型。但我得说句实在话——传统时序模型，尤其是ARIMA，依然是工业界的常青树。我在做轨迹预测项目时，经常先用ARIMA跑个baseline，再上复杂模型。为什么？因为ARIMA能帮你快速理解数据的底层规律。

4.1 ARIMA模型：从直觉到数学

ARIMA，全称是自回归积分滑动平均模型。名字挺长，但拆开看就三个部分：

AR（自回归）：用过去的值预测现在的值。说白了就是“昨天的轨迹影响今天的轨迹”。
I（差分）：让非平稳数据变平稳。我遇到过很多轨迹数据，走着走着就漂移了，差分一下就好了。
MA（滑动平均）：用过去的预测误差来修正当前的预测。相当于给模型加了个“纠错机制”。

数学上，ARIMA(p,d,q)可以写成：

(1 - φ₁B - φ₂B² - ... - φₚBᵖ)(1-B)ᵈyₜ = (1 + θ₁B + θ₂B² + ... + θₙBⁿ)εₜ

其中B是滞后算子，d是差分阶数。嗯，公式看着唬人，但实际用起来，你只需要关心p、d、q三个参数怎么选。

  核心要点：ARIMA适用于单变量、平稳或差分后平稳的时间序列。轨迹预测中，如果你只预测单一坐标轴（比如x方向），ARIMA是个不错的起点。

4.2 SARIMA：给模型加上季节节拍

ARIMA有个硬伤——它处理不了周期性。但轨迹数据往往有周期模式。比如，我做过一个行人轨迹项目，发现每天早晚高峰的路径模式高度相似。这时候就要上SARIMA了。

SARIMA在ARIMA基础上加了四个季节参数：P、D、Q、S。S就是周期长度。完整写法是SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)ₛ。

举个例子，如果你发现轨迹数据每24小时重复一次模式，那S=24。模型会额外学习“今天上午9点的位置和昨天上午9点的位置有什么关系”。

# SARIMA模型示例（Python伪代码）
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX

# 假设轨迹x坐标，周期为24
model = SARIMAX(trajectory_x, 
                order=(1,1,1),          # p,d,q
                seasonal_order=(1,1,1,24))  # P,D,Q,S
results = model.fit()

我的经验：S的取值别拍脑袋。先画个自相关图（ACF），看看哪些滞后阶数有显著峰值。峰值间隔就是S。我曾经因为S设错了，模型跑出来全是噪声，浪费了两天时间。

4.3 模型定阶：别让参数选哭你

定阶就是选p、d、q。我见过有人手动试几十组参数，太累了。这里分享我的三板斧：

看ACF和PACF图：ACF拖尾、PACF截尾→选AR；ACF截尾、PACF拖尾→选MA；都拖尾→ARIMA混合。
用AIC/BIC准则：让计算机帮你搜。AIC越小越好，但别过拟合。我一般限制p和q不超过5。
差分阶数d：做单位根检验（ADF检验）。p值大于0.05就继续差分，直到平稳。

ACF形态	PACF形态	推荐模型
拖尾（缓慢衰减）	p阶后截尾	AR(p)
q阶后截尾	拖尾	MA(q)
拖尾	拖尾	ARIMA(p,d,q)

避坑指南：我曾经在定阶时盲目追求低AIC，结果选了p=7,q=8的模型。预测时直接炸了——参数太多，过拟合严重。记住：简单模型往往更鲁棒。p+q不超过3是个好习惯。

4.4 模型诊断：残差里藏着真相

模型建好了，别急着用。先做诊断。我一般检查三件事：

残差是否白噪声：用Ljung-Box检验。p值大于0.05，说明残差没有自相关性，模型提取了所有信息。
残差是否正态分布：画QQ图。偏离太远说明模型有偏差。
残差是否异方差：看残差图。如果波动幅度随时间变化，说明模型没捕捉到波动率变化。

# 残差诊断代码
residuals = results.resid

# 1. Ljung-Box检验
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
lb_test = acorr_ljungbox(residuals, lags=[10])
print('p值:', lb_test['lb_pvalue'].values[0])

# 2. 画QQ图
import scipy.stats as stats
stats.probplot(residuals, dist="norm", plot=plt)

如果诊断没通过，别慌。试试调整参数，或者换模型。我有个项目，ARIMA诊断一直不过，后来发现是数据里有异常值，清洗后就好了。

4.5 在简单轨迹预测中的应用

好了，理论讲完了，咱们来点实战。假设你有一段二维轨迹数据，记录了某个物体在x和y方向上的位置。我们分别对x和y建ARIMA模型。

import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟轨迹数据（x方向）
np.random.seed(42)
t = np.linspace(0, 100, 200)
x_traj = 0.5 * t + np.sin(0.1 * t) + np.random.normal(0, 0.2, 200)

# 划分训练集和测试集
train = x_traj[:160]
test = x_traj[160:]

# 定阶：先用简单模型
model = ARIMA(train, order=(2,1,2))
results = model.fit()

# 预测未来40步
forecast = results.forecast(steps=40)

# 评估
from sklearn.metrics import mean_absolute_error
mae = mean_absolute_error(test, forecast)
print(f'MAE: {mae:.3f}')

# 可视化
plt.plot(test, label='真实轨迹')
plt.plot(forecast, label='ARIMA预测', linestyle='--')
plt.legend()

  效果分析：对于简单轨迹，ARIMA的MAE通常在0.1-0.3之间（取决于噪声水平）。如果轨迹有强趋势和周期，SARIMA能把MAE再降20%-30%。但遇到急转弯或突变，ARIMA就力不从心了——这时候才轮到深度学习上场。

最后说句掏心窝的话：ARIMA不是万能的，但它是一个极好的起点。你想想看，如果连ARIMA都跑不好，直接上Transformer大概率也是白给。先打好基础，再追求花活，这是我做了这么多年时序项目最深的体会。

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