3、延时求和波束成形（DSB）：窄带与宽带DSB原理、时域实现方法、频域实现方法、波束图分析
好，咱们今天聊点硬核的——延时求和波束成形，简称 DSB。这是波束成形里最基础、最直观的方法。说白了，就是让麦克风阵列“听”向某个方向。
我刚开始做助听器算法时，第一个接触的就是 DSB。为什么？因为它简单、稳定、好调试。你想想看，如果连 DSB 都调不明白，后面那些自适应算法就更别想了。
3.1 窄带 DSB 原理
先讲窄带。窄带信号，就是频率单一的正弦波。比如 1kHz 的纯音。
假设有两个麦克风，间距 d。声波从 θ 方向传来。那么，到达两个麦克风的时间差 τ 就是：
τ = d * sin(θ) / c其中 c 是声速，约 340 m/s。
窄带 DSB 的核心思想：把第二个麦克风的信号延时 τ，再和第一个麦克风的信号相加。这样，来自 θ 方向的信号就同相叠加，幅度加倍。其他方向的信号呢？相位不对齐，叠加后幅度变小。
用公式表达就是：
y(t) = x₁(t) + x₂(t - τ)嗯，就这么简单。但要注意，窄带情况下，延时 τ 对应的是相位差 φ：
φ = 2π * f * τ所以窄带 DSB 也可以看成是“相位补偿后求和”。
关键点：窄带 DSB 只对单一频率有效。频率变了，相位补偿也得跟着变。
3.2 宽带 DSB 原理
现实中的声音，比如语音，是宽带信号。频率从 100Hz 到 8kHz 都有。窄带 DSB 就不够用了。
宽带 DSB 怎么做？很简单——对每个频率分别做延时补偿。
我个人习惯把宽带 DSB 理解成“时域上的精确对齐”。因为不同频率的波速相同（都是声速），所以时间延迟 τ 对所有频率都一样。但相位变化不同。
宽带 DSB 的时域实现：
y(t) = Σᵢ xᵢ(t - τᵢ)其中 τᵢ 是第 i 个麦克风相对于参考点的延时。
我在项目中遇到过一个问题：采样率不够高时，延时 τ 可能不是采样周期的整数倍。这时候就需要插值。我一般用线性插值，效果够用。如果追求精度，可以用 sinc 插值。
我的经验：助听器里采样率通常是 16kHz 或 32kHz。对于 16kHz，采样周期 62.5μs。如果延时差小于这个值，直接四舍五入到最近采样点，听感差异不大。
3.3 时域实现方法
时域实现最直观。就是给每个通道加一个延时线。
伪代码如下：
// 假设 4 个麦克风，间距 1cm
// 目标方向 30 度
// 采样率 16kHz
float delays[4];
float buffer[4][BUFFER_SIZE];
int write_ptr[4] = {0};
// 计算延时（采样点为单位）
for (int i = 0; i < 4; i++) {
float tau = i * d * sin(theta) / c;
delays[i] = tau * fs; // 转换为采样点
}
// 每个采样点处理
for (int n = 0; n < BLOCK_SIZE; n++) {
float y = 0;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int read_ptr = write_ptr[i] - (int)delays[i];
if (read_ptr < 0) read_ptr += BUFFER_SIZE;
y += buffer[i][read_ptr];
buffer[i][write_ptr[i]] = input[i][n];
}
output[n] = y / 4; // 归一化
for (int i = 0; i < 4; i++) {
write_ptr[i] = (write_ptr[i] + 1) % BUFFER_SIZE;
}
}注意看，我用了环形缓冲区。这是嵌入式开发的标配。为什么？因为内存有限，不能无限存数据。
曾经踩过的坑：环形缓冲区的读写指针要小心处理。我曾经因为取模运算写错，导致数据错位，波束指向完全偏了。调试了两天才发现。
3.4 频域实现方法
时域实现虽然直观，但计算量大。尤其是延时不是整数倍时，需要插值。
频域实现就优雅多了。把信号变换到频域，延时变成相位旋转：
Y(f) = Σᵢ Xᵢ(f) * exp(-j * 2π * f * τᵢ)具体步骤：
- 对每通道信号做 FFT
- 对每个频点，乘以对应的相位因子
- 求和
- IFFT 回到时域
伪代码：
// 频域 DSB
for (int k = 0; k < FFT_SIZE/2; k++) {
float freq = k * fs / FFT_SIZE;
complex sum = 0;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
float phase = -2 * PI * freq * delays[i];
sum += X[i][k] * exp(complex(0, phase));
}
Y[k] = sum / 4;
}频域实现的优点：精度高，没有插值误差。缺点：有块处理延迟，适合非实时场景。
我个人在助听器里更常用时域实现。为什么？因为助听器对延迟极其敏感。频域 FFT 会引入至少一个 block 的延迟，用户会觉得声音“闷”。
3.5 波束图分析
波束图，就是阵列对不同方向信号的响应。画出来像一朵花。
对于均匀线阵，窄带 DSB 的波束图公式：
B(θ) = | Σᵢ exp(-j * 2π * f * i * d * (sin(θ) - sin(θ₀)) / c) |其中 θ₀ 是目标方向。
波束图有几个关键指标：
| 指标 | 含义 | 典型值 |
|---|---|---|
| 主瓣宽度 | 主瓣的 -3dB 宽度 | 随频率和阵列尺寸变化 |
| 旁瓣电平 | 旁瓣相对于主瓣的幅度 | 均匀加权时约 -13dB |
| 指向性指数 | 阵列对目标方向的增益 | 随麦克风数量增加 |
我画波束图时，习惯用极坐标。横轴是角度，纵轴是幅度（dB）。这样一眼就能看出阵列的指向性。
注意：DSB 的波束图在低频时主瓣很宽。比如 500Hz 以下，波束几乎没指向性。这是物理限制，不是算法能解决的。所以助听器里，低频段通常不做波束成形，或者用其他方法。
举个例子。4 麦克风线阵，间距 1cm，目标方向 0 度。在 2kHz 时，主瓣宽度约 30 度。在 4kHz 时，主瓣宽度约 15 度。频率越高，指向性越强。
但高频也有问题——会出现栅瓣。当频率高到一定程度，d/λ > 0.5 时，波束图会出现多个主瓣。这就是空间混叠。
避坑指南：我曾经设计过一个阵列，麦克风间距 2cm，结果在 8kHz 时出现了栅瓣。用户转头时，声音忽大忽小。后来把间距改到 1cm，栅瓣消失了。记住：d ≤ λ/2 是基本要求。
3.6 总结与思考
DSB 是最简单的波束成形方法。它不依赖信号统计特性，鲁棒性好。但性能有限，旁瓣高，低频指向性差。
什么时候用 DSB？
- 麦克风数量少（2-4 个）
- 计算资源有限
- 需要低延迟
- 作为其他算法的初始化或参考
什么时候不用？
- 需要强干扰抑制（比如 -20dB 以下）
- 噪声环境复杂多变
- 需要自适应调整波束
嗯，DSB 就讲到这里。下一章咱们聊自适应波束成形，那才是真正有意思的东西。