3、加速度计校准理论：六位置静态校准法原理、最小二乘估计理论、加速度计误差模型（零偏+标度+交轴）、可观测性分析

好，咱们进入加速度计校准的核心环节。

说实话，IMU 校准这块，加速度计比陀螺仪要「友好」得多。为什么？因为加速度计有重力这个天然参考。你想想看，重力方向是确定的，大小也是确定的（9.8 m/s² 左右）。这就给了我们一个绝佳的校准基准。

我个人习惯，做加速度计校准时，第一件事就是先把误差模型搞清楚。模型不对，后面算得再漂亮也是白搭。

3.1 加速度计误差模型：零偏、标度、交轴

先看一个理想情况。理想加速度计，三个轴完全正交，输出就是真实的比力。但现实嘛……总得有点瑕疵。

我遇到过一款 MEMS 加速度计，出厂标称零偏 50 mg，结果一上电测出来 120 mg。嗯，这就是典型的零偏误差。

加速度计的误差模型，通常写成这样：

a_meas = S * (a_true + b + N * a_true + v)

展开来说，主要有三个部分：

• 零偏（Bias）：即使没有加速度，输出也不为零。单位是 mg 或 m/s²。说白了就是「躺着也中枪」。
• 标度因数（Scale Factor）：实际输出与理论值的比例偏差。比如你输入 1g，它输出 0.98g，那标度误差就是 2%。
• 交轴耦合（Cross-axis）：X 轴感受到 Y 轴的加速度。这通常是因为传感器安装不正交或者芯片内部结构导致的。

把这三个合在一起，写成矩阵形式更直观：

| a_x_meas |   | S_xx  S_xy  S_xz |   | a_x_true |   | b_x |
| a_y_meas | = | S_yx  S_yy  S_yz | * | a_y_true | + | b_y |
| a_z_meas |   | S_zx  S_zy  S_zz |   | a_z_true |   | b_z |

这里 S 矩阵的对角线是标度因数，非对角线是交轴耦合系数。b 向量是零偏。

3.2 六位置静态校准法原理

六位置法，名字听着挺唬人，其实原理很简单——利用重力在不同方向上的投影。

你想想看，把加速度计分别朝上、朝下、朝左、朝右、朝前、朝后，六个方向各放一次。每次测量，理论上重力在某个轴上的投影应该是 ±1g，其他轴为 0。

举个例子：

位置	理论 X (g)	理论 Y (g)	理论 Z (g)
Z 轴朝上	0	0	+1
Z 轴朝下	0	0	-1
X 轴朝上	+1	0	0
X 轴朝下	-1	0	0
Y 轴朝上	0	+1	0
Y 轴朝下	0	-1	0

每个位置采集几十秒数据，取平均。这样我们就有了 6 组测量值，每组对应一个已知的理论值。

3.3 最小二乘估计理论

有了 6 组数据，怎么算出那 12 个参数？

答案是：最小二乘法。

说白了，就是找一组参数，让模型预测值和实际测量值之间的误差平方和最小。

我们把问题写成线性形式：

z = H * x + v

其中：

• z 是测量向量（6 个位置 × 3 个轴 = 18 个测量值）
• H 是设计矩阵（由理论重力投影构成）
• x 是待估参数（零偏 + 标度 + 交轴）
• v 是测量噪声

最小二乘解就是：

x_hat = (H^T * H)^{-1} * H^T * z

嗯，就是这个公式。看起来简单，但实际用起来有几个坑：

1. H 矩阵必须列满秩。如果某些参数不可观测，H^T * H 就不可逆。
2. 数据要预处理。去掉明显的粗差，比如传感器突然掉电产生的异常值。
3. 残差分析。算完之后看看残差，如果某个位置的残差特别大，说明那个位置的数据可能有问题。

3.4 可观测性分析

可观测性，这个词听起来很学术。其实意思很简单：你的数据能不能把参数估计出来？

举个例子。如果你只做 Z 轴朝上和朝下两个位置，那 X 和 Y 的零偏就完全不可观测。因为你没有给 X 和 Y 轴任何激励。

六位置法之所以经典，就是因为它能保证所有 12 个参数都是可观测的。但要注意：

• 零偏：每个轴的正反两个位置，刚好能解出零偏。
• 标度因数：正反两个位置的差值，能解出标度。
• 交轴耦合：需要不同轴的组合数据才能解出来。

我个人的经验是：可观测性分析一定要在采集数据之前做。别等到数据都采完了，才发现某个参数根本算不出来。那时候就尴尬了。

嗯，这里再补充一点。实际工程中，六位置法往往不够用。为什么？因为 MEMS 加速度计的非线性误差、温度漂移等，六位置法覆盖不了。这时候就需要更复杂的多位置法或者温度补偿了。

不过，六位置法作为入门和基础校准，绝对够用。先把这 12 个参数搞定，后面再谈高阶补偿。

下一章，咱们会讲具体的操作流程和代码实现。到时候我会分享一个我常用的 Python 脚本，直接跑一遍就能出结果。