4、增量式PID算法：公式推导、C语言实现、与位置式的对比

好，咱们今天来聊聊增量式PID。说实话，很多初学者一听到“增量式”三个字，就觉得比位置式高级。其实不是的。它们各有各的脾气，各有各的适用场景。

我个人习惯把增量式PID叫做“只算变化量”的PID。什么意思呢？位置式PID每次都要算一个完整的控制量输出，而增量式只算这一次比上一次多了多少。你想想看，这有什么好处？

4.1 公式推导：从位置式到增量式

我们先回忆一下位置式PID的公式：

u(k) = Kp * e(k) + Ki * Σe(i) + Kd * [e(k) - e(k-1)]

这个公式里，Σe(i) 是从系统启动到现在所有误差的累加。嗯，这里要注意，这个累加项在单片机里是个隐患——万一积分饱和了，输出可能直接飞掉。

那增量式怎么来的？很简单。我们写出第 k-1 时刻的输出：

u(k-1) = Kp * e(k-1) + Ki * Σe(i-1) + Kd * [e(k-1) - e(k-2)]

然后用 u(k) 减去 u(k-1)，得到增量 Δu(k)：

Δu(k) = u(k) - u(k-1)
       = Kp * [e(k) - e(k-1)] + Ki * e(k) + Kd * [e(k) - 2*e(k-1) + e(k-2)]

这就是增量式PID的核心公式。你看，它只跟最近三次的误差有关，跟历史累加没关系了。

4.2 C语言实现：我常用的模板

我在项目中用过很多次增量式PID，下面这个结构体是我比较喜欢的一种写法。它把三个系数和三个历史误差都封装在一起，清爽又好维护。

typedef struct {
    float Kp;      // 比例系数
    float Ki;      // 积分系数
    float Kd;      // 微分系数
    float e_k;     // 当前误差
    float e_k1;    // 上一次误差
    float e_k2;    // 上上次误差
    float u_k1;    // 上一次输出
    float delta_u; // 增量输出
} PID_Incremental;

void PID_Incremental_Init(PID_Incremental *pid, float Kp, float Ki, float Kd) {
    pid->Kp = Kp;
    pid->Ki = Ki;
    pid->Kd = Kd;
    pid->e_k = 0;
    pid->e_k1 = 0;
    pid->e_k2 = 0;
    pid->u_k1 = 0;
    pid->delta_u = 0;
}

float PID_Incremental_Calc(PID_Incremental *pid, float setpoint, float feedback) {
    // 计算当前误差
    pid->e_k = setpoint - feedback;

    // 计算增量
    pid->delta_u = pid->Kp * (pid->e_k - pid->e_k1)
                 + pid->Ki * pid->e_k
                 + pid->Kd * (pid->e_k - 2*pid->e_k1 + pid->e_k2);

    // 更新历史误差
    pid->e_k2 = pid->e_k1;
    pid->e_k1 = pid->e_k;

    // 累加得到当前输出
    pid->u_k1 += pid->delta_u;

    return pid->u_k1;
}

4.3 与位置式的对比：谁更好？

这个问题没有标准答案。我根据自己的经验，整理了一个对比表：

对比项	位置式PID	增量式PID
输出形式	直接输出控制量 u(k)	输出增量 Δu(k)，需累加
积分项	误差累加，容易积分饱和	无累加项，无积分饱和问题
故障影响	输出突变，执行器可能飞车	增量小，冲击小
手动/自动切换	需要做无扰切换处理	天然无扰，切换平滑
计算量	需要存储所有历史误差	只需存储最近3个误差
适用场景	伺服电机、阀门等全量控制	步进电机、增量式执行器

4.4 什么时候选增量式？

说白了，就两个原则：

• 执行器是增量型的——比如步进电机，你给它一个脉冲它就转一步。这时候用增量式PID，输出直接就是脉冲数，省事。
• 系统不允许输出突变——比如机械臂，位置式PID如果积分饱和了，输出可能从0直接跳到100，机械臂“咣”一下撞过去。增量式就不会，它每次只变一点点。

反过来，如果你的执行器需要绝对位置（比如伺服电机的位置环），或者你对稳态精度要求极高，那位置式PID可能更合适。

嗯，今天就聊到这儿。下一节我们讲积分分离和抗积分饱和，这两个在实际项目中太常用了。到时候我会拿一个我调过的温控系统做例子，保证你听完就能用。