第4章 刚体运动学：位置、速度、加速度、角速度、角加速度

好，咱们今天聊聊刚体运动学。说实话，这是整个物理引擎最基础、也最绕不开的一块。你想想看，游戏里一个箱子从桌上掉下来，一辆车在赛道上漂移，甚至角色手里的剑挥出去——这些动作背后，全是刚体在动。

我个人习惯把运动学分成两半来看：线性运动和角运动。前者管“往哪走、走多快”，后者管“怎么转、转多快”。两者合在一起，才能描述一个刚体在三维空间里的完整状态。

4.1 位置与速度：最朴素的物理量

先说位置。刚体的位置，说白了就是它质心在空间里的坐标。我们用向量 p 表示，通常是个三维向量 (x, y, z)。在游戏里，每一帧我们都要更新这个位置。

速度呢？就是位置随时间的变化率。公式很简单：

v = dp / dt

但在实际代码里，我们不会真的去求导。我们用离散的增量：

p_new = p_old + v * dt

嗯，这里要注意。这个公式是显式欧拉积分，简单粗暴，但精度一般。我在项目中遇到过一个问题：用这个公式模拟一个弹簧摆，结果能量越算越多，摆锤越荡越高——这就是数值发散。后来我换成了半隐式欧拉，才稳住。

4.2 加速度：力的体现

加速度是速度的变化率。牛顿第二定律告诉我们：

a = F / m

这里 F 是作用在刚体上的合力，m 是质量。加速度本身不直接改变位置，它先改变速度，速度再改变位置。所以更新顺序很重要：

1. 计算合力 F
2. 计算加速度 a = F / m
3. 更新速度 v += a * dt
4. 更新位置 p += v * dt

你想想看，如果先更新位置再更新速度，那位置用的就是旧速度，物理上就不对了。我曾经调试一个角色跳跃的 bug，跳起来总比预期矮一截，查了半天发现就是更新顺序写反了。

4.3 角速度：旋转的灵魂

线性运动讲完了，咱们聊聊旋转。刚体不光会平移，还会转。描述旋转快慢的量叫角速度，用 ω（omega）表示，单位是弧度/秒。

角速度是个向量。方向呢？用右手定则：拇指指向旋转轴，四指弯曲方向就是旋转方向。比如一个轮子绕 Y 轴正转，角速度向量就是 (0, ω, 0)。

更新角度（或者说旋转量）的方式和位置类似：

θ_new = θ_old + ω * dt

但这里有个坑。在 3D 里，我们通常用四元数或旋转矩阵来表示朝向，而不是简单的角度。直接用欧拉角更新容易遇到万向锁。我建议你一开始就用四元数，虽然理解起来有点绕，但后面省心很多。

// 伪代码：用四元数更新朝向
Quaternion q_old = body.orientation;
Quaternion q_delta = Quaternion(axis, omega * dt);
body.orientation = q_delta * q_old;
body.orientation.normalize(); // 别忘了归一化

4.4 角加速度：扭矩的产物

角加速度 α 是角速度的变化率。它由扭矩 τ 和转动惯量 I 决定：

α = τ / I

这里 I 是刚体绕某轴的转动惯量，可以理解为“旋转方向上的质量”。质量越大越难推，转动惯量越大越难转。

更新流程和线性运动完全对应：

1. 计算合扭矩 τ
2. 计算角加速度 α = τ / I
3. 更新角速度 ω += α * dt
4. 更新朝向（用四元数或矩阵）

我在项目中遇到过一个问题：一个细长的棍子，绕不同轴的转动惯量差别很大。如果我用一个标量 I 来近似，旋转行为就完全不对。后来我换成了惯性张量（一个 3x3 矩阵），才准确模拟出棍子的旋转。

4.5 线性与角运动的对应关系

你看，线性运动和角运动的结构几乎一模一样。我整理了一张表，方便你对照：

概念	线性运动	角运动
位置/朝向	位置向量 p	四元数 q 或旋转矩阵 R
速度	线速度 v	角速度 ω
加速度	线加速度 a	角加速度 α
惯性	质量 m	转动惯量 I
力/扭矩	力 F	扭矩 τ
运动方程	F = m * a	τ = I * α

说白了，你只要把线性运动那一套搞懂了，角运动就是换个符号、换个数据结构的事。但要注意，角运动在实现上更复杂，因为旋转不满足交换律，而且朝向的表示方式有好几种。

4.6 实际应用中的注意事项

最后，我分享几个实际开发中的经验：

• 时间步长要稳定： 固定时间步长比可变步长好。可变步长会导致物理表现不一致，尤其在联机游戏中。
• 数值稳定性： 角速度更新后，记得对四元数归一化。否则累积误差会让物体变形。
• 阻尼处理： 真实世界有空气阻力、摩擦等。在引擎里，我习惯给角速度加一个小的阻尼系数，比如 ω *= 0.99，防止旋转永远停不下来。
• 调试技巧： 把位置、速度、角速度打印出来，或者用 gizmo 在场景里可视化。我曾经靠这个发现了一个角速度方向算反的 bug。

好了，刚体运动学的基础就这些。下一章我们会聊到碰撞检测，那才是物理引擎里最刺激的部分。做好准备，咱们到时候见。