3、协整理论入门：从直觉到检验
各位同学，今天我们来聊聊协整。说实话，我刚入行那会儿，听到「协整」这个词，第一反应是——这又是什么高大上的数学概念？后来做多了统计套利，才发现它其实就是个「找对象」的过程。你想想看，两只股票的价格走势，就像一对情侣，短期可能各走各的，但长期来看，总得步调一致才行。
3.1 协整的直观理解：价格会「回家」
先讲个我自己的经历。2018年我在做A股配对交易时，盯上了茅台和五粮液。这两只股票，单看价格，一个200多，一个50多，完全不在一个量级。但它们的价差，却总在一个区间里晃悠。涨多了就跌回来，跌多了就涨回去。这就是协整的直观表现——两个非平稳的时间序列，它们的线性组合却是平稳的。
说白了，协整就是告诉你：虽然单个价格像醉汉走路，东倒西歪，但两个醉汉绑在一起，反而能走直线。这个「绑在一起」的线性组合，就是我们的套利机会。
核心思想：协整 ≠ 相关性。相关性高不代表协整，比如两只股票都跟着大盘涨跌，但它们之间可能没有长期均衡关系。协整强调的是「长期均衡」——价差会均值回归。
3.2 平稳性与单位根检验（ADF检验）
要理解协整，先得搞懂什么是平稳性。我习惯这么跟团队新人讲：平稳序列就像个乖孩子，均值、方差都不随时间变化，始终围绕一个固定值波动。而非平稳序列呢？就像个叛逆少年，越走越远，没有回头的意思。
金融时间序列，比如股票价格，几乎都是非平稳的。但它们的收益率（一阶差分）往往是平稳的。这就是所谓的「一阶单整」，记作 I(1)。
单位根检验：判断是否平稳
最常用的就是 ADF 检验（Augmented Dickey-Fuller Test）。它的原理我不打算细讲，你只要记住：ADF 检验的原假设是「存在单位根，即序列非平稳」。如果 p 值小于 0.05，就拒绝原假设，认为序列平稳。
嗯，这里要注意：ADF 检验的滞后阶数选择很关键。选少了，自相关没消除；选多了，检验功效下降。我个人习惯用 AIC 准则自动选阶。
import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
# 模拟一个随机游走（非平稳）
np.random.seed(42)
random_walk = np.cumsum(np.random.randn(1000))
# ADF检验
result = adfuller(random_walk, autolag='AIC')
print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
print(f'p值: {result[1]:.4f}')
print(f'临界值: {result[4]}')
# 输出示例：
# ADF统计量: -1.2345
# p值: 0.6543
# 临界值: {'1%': -3.437, '5%': -2.864, '10%': -2.568}
你看，p值0.65，远大于0.05，不能拒绝原假设——序列非平稳。这就是典型的随机游走。
避坑指南：我曾经在实盘策略中犯过一个低级错误——直接用价格做回归，没做平稳性检验。结果回测曲线漂亮得不行，实盘一跑就崩。后来才发现，那只是伪回归。记住：非平稳序列之间做回归，t统计量会严重失真。
3.3 Engle-Granger两步法：最经典的协整检验
这个方法，说白了就是两步走：
- 第一步：用 OLS 回归估计长期均衡关系。比如 y = α + βx + ε，得到残差 ε。
- 第二步：对残差 ε 做 ADF 检验。如果残差平稳，就说明 y 和 x 协整。
听起来简单吧？但坑也不少。我当年第一次用 EG 两步法时，就踩了个坑——回归方向会影响结果。你用 y 对 x 回归，和用 x 对 y 回归，得到的残差不一样，协整结论也可能不同。所以，我建议你两个方向都试一下，或者用 Johansen 检验来验证。
import statsmodels.api as sm
# 模拟两个协整序列
np.random.seed(42)
x = np.cumsum(np.random.randn(1000))
y = 0.8 * x + np.random.randn(1000) * 0.5 # 协整关系
# 第一步：OLS回归
X = sm.add_constant(x)
model = sm.OLS(y, X).fit()
residuals = model.resid
# 第二步：对残差做ADF检验
result = adfuller(residuals, autolag='AIC')
print(f'残差ADF p值: {result[1]:.4f}')
# 输出示例：
# 残差ADF p值: 0.0000
p值接近0，说明残差平稳，两个序列协整。这就是我们的套利基础。
个人经验：EG两步法适合两个序列的协整检验。如果多于两个，建议直接用 Johansen 检验。另外，EG 两步法有个隐含假设——协整向量是唯一的。如果存在多个协整关系，它只能找到一个。
3.4 Johansen检验简介：多序列协整的利器
Johansen 检验，说白了就是 EG 两步法的升级版。它基于 VAR 模型，可以同时检验多个协整关系。我习惯把它想象成一个「协整探测器」——不仅能告诉你有没有协整，还能告诉你存在几个协整关系。
Johansen 检验有两种统计量：迹统计量（Trace）和最大特征值统计量（Max-Eigen）。两者结论通常一致，如果矛盾，我一般以迹统计量为准。
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen
# 模拟三个序列，其中两个协整
np.random.seed(42)
z1 = np.cumsum(np.random.randn(1000))
z2 = 0.6 * z1 + np.random.randn(1000) * 0.3
z3 = np.cumsum(np.random.randn(1000)) # 独立随机游走
data = np.column_stack([z1, z2, z3])
# Johansen检验
result = coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)
print(f'迹统计量: {result.lr1}')
print(f'迹统计量临界值(95%): {result.cvt[:, 1]}')
print(f'最大特征值统计量: {result.lr2}')
print(f'最大特征值临界值(95%): {result.cvm[:, 1]}')
# 输出示例：
# 迹统计量: [45.23, 12.56, 1.23]
# 迹统计量临界值(95%): [29.80, 15.49, 3.84]
# 最大特征值统计量: [32.67, 11.33, 1.23]
# 最大特征值临界值(95%): [21.13, 14.26, 3.84]
你看，迹统计量第一个值 45.23 > 29.80，拒绝「r=0」的原假设；第二个值 12.56 < 15.49，不能拒绝「r≤1」。说明存在1个协整关系。这跟我们的模拟设定一致——z1和z2协整，z3是独立的。
关键点：Johansen 检验对滞后阶数敏感。我建议用 AIC 或 BIC 准则选择最优滞后阶数，然后做残差自相关检验，确保模型设定正确。
知识体系总览
下面这张图，是我自己梳理的协整检验流程。你跟着走一遍，基本不会出错。
这张图把整个流程串起来了。你从数据出发，先做平稳性检验。如果平稳，直接建模；如果不平稳，考虑差分或协整。协整检验用 EG 两步法（两个序列）或 Johansen 检验（多个序列）。如果存在协整关系，恭喜你，可以构建配对交易策略了。
我的建议：初学者先从两个序列的 EG 两步法入手，跑通流程。等理解了残差平稳性的含义，再上 Johansen 检验。别一上来就搞复杂的，容易把自己绕晕。
好了，协整理论就讲到这里。记住一句话：协整不是万能的，但没有协整，统计套利就是空中楼阁。下一节，我们会把这些理论落地到代码里，真正跑一个配对交易策略出来。