第四节：价差计算——价差、比率、相关系数与协整关系

各位同学，今天我们来聊聊跨市场套利中最核心的数学工具。说白了，就是怎么量化两个市场之间的“关系”。

我个人习惯把价差分析分成四个层次：价差、比率、相关系数和协整关系。它们就像四把尺子，一把比一把精密。

1. 价差：最直观的套利信号

价差就是两个价格直接相减。比如沪铜和伦铜，一个在上海期货交易所，一个在伦敦金属交易所。如果沪铜价格是50000元/吨，伦铜价格是6000美元/吨（假设汇率7.2），那价差就是：

价差 = 沪铜价格 - 伦铜价格 × 汇率
     = 50000 - 6000 × 7.2
     = 50000 - 43200
     = 6800 元/吨

嗯，这里要注意：价差必须统一计价单位。我在项目中遇到过有人直接用人民币价格减美元价格，结果算出来一个天文数字——那其实是单位没对齐。

2. 比率：消除量纲影响

价差有个问题：它受价格绝对值影响。比如铜价从50000涨到60000，价差可能从6800变成7800，但这不代表套利机会变大了——可能只是整体价格水平上移了。

这时候就要用比率：

比率 = P1 / P2

还是刚才的例子：

比率 = 50000 / (6000 × 7.2) = 50000 / 43200 ≈ 1.157

这个1.157意味着沪铜比伦铜贵了15.7%。比率的好处是它不受价格水平影响，只看相对关系。我习惯用比率来做长期均值回归的判断——如果历史均值是1.10，现在到了1.15，那可能就偏高了。

3. 相关系数：衡量线性关系

相关系数衡量两个价格序列的线性相关程度。取值范围在-1到1之间：

• 1：完全正相关，一个涨另一个也涨
• -1：完全负相关，一个涨另一个跌
• 0：没有线性关系

计算公式：

ρ = Cov(P1, P2) / (σ1 × σ2)

其中Cov是协方差，σ是标准差。说白了，就是看两个价格一起波动的程度。

我见过有人只看相关系数就做套利，结果亏得很惨。为什么？因为相关系数只告诉你“它们一起动”，但没告诉你“它们会不会分开”。

4. 协整关系：套利的真正基石

这才是我们今天的主角。协整关系说的是：两个价格序列虽然各自随机游走，但它们之间存在一个长期均衡关系。一旦偏离这个均衡，就会自动回归。

用数学语言说：如果两个时间序列P1和P2都是I(1)（一阶单整），且存在一个线性组合P1 - β×P2是平稳的（I(0)），那么它们就是协整的。

检验协整的常用方法是Engle-Granger两步法：

1. 第一步：用OLS回归 P1 = α + β×P2 + ε
2. 第二步：检验残差ε是否平稳（用ADF检验）

代码示例（Python）：

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
import statsmodels.api as sm

# 假设p1和p2是两个价格序列
def check_cointegration(p1, p2, significance=0.05):
    # 第一步：OLS回归
    X = sm.add_constant(p2)
    model = sm.OLS(p1, X).fit()
    beta = model.params[1]
    residuals = model.resid
    
    # 第二步：ADF检验残差
    adf_stat, p_value, _, _, critical_values, _ = adfuller(residuals)
    
    # 判断是否协整
    is_cointegrated = p_value < significance
    
    return {
        'beta': beta,
        'adf_statistic': adf_stat,
        'p_value': p_value,
        'is_cointegrated': is_cointegrated,
        'residuals': residuals
    }

# 使用示例
result = check_cointegration(p1, p2)
print(f"协整系数β: {result['beta']:.4f}")
print(f"ADF检验p值: {result['p_value']:.4f}")
print(f"是否协整: {result['is_cointegrated']}")

我曾经用这个方法做沪深300和中证500的配对交易。两个指数看起来相关性很高，但协整检验发现它们并不协整——也就是说，价差不会自动回归。如果当时只看相关系数就进场，后果不堪设想。

知识体系总览

下面这张图总结了四个层次的关系：

实际应用中的选择

那么在实际项目中，到底用哪个？我给大家一个参考：

指标	适用场景	优点	缺点
价差	同品种、同市场	直观、计算简单	受价格水平影响
比率	跨品种、跨市场	消除量纲、适合均值回归	对极端值敏感
相关系数	初步筛选、风险对冲	快速判断线性关系	不保证价差回归
协整关系	配对交易、统计套利	保证长期均衡、可交易	计算复杂、需检验

好了，这一节的内容就到这里。记住：价差是表象，协整是本质。下次当你看到两个价格在波动时，先问问自己——它们真的会回来吗？

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