第4章单期二叉树模型

第4章：单期二叉树模型

二叉树模型，说白了就是给金融资产价格变化画一棵树。单期二叉树，就是只画一个分叉——今天一个价，明天两个可能。听起来简单？嗯，但它是整个风险中性定价的基石。

我个人习惯把单期二叉树当作“定价的原子结构”。你搞懂了它，后面那些多期、美式、带分红的复杂模型，无非就是把这个原子结构重复拼接而已。

4.1 模型设定：三个核心要素

我们先搭一个最简单的场景。假设有一只股票，当前价格是 S₀。过了一个时间步长 Δt 后，它要么上涨到 S₀ × u，要么下跌到 S₀ × d。这里 u > 1，d < 1。

你可能会问：为什么只有两个方向？真实市场不是连续波动的吗？

没错，真实市场是连续的。但二叉树的核心思想是“用离散逼近连续”。单期模型虽然只有两个结果，但它抓住了最本质的东西——不确定性。我在项目中遇到过用二叉树给场外期权报价的场景，对方问“你们这树也太粗糙了吧”，我当时的回答是：“你先看单期能不能讲通逻辑，讲不通的话，100期也没用。”

模型设定需要明确以下几点：

标的资产当前价格：S₀，已知
上涨因子：u，通常 u > 1
下跌因子：d，通常 0 < d < 1
无风险利率：r，连续复利
时间步长：Δt，通常以年为单位
期权到期收益：在上涨状态为 f_u，下跌状态为 f_d

举个例子。假设股票当前 100 元，u=1.2，d=0.8，Δt=1 年，无风险利率 5%。那么一年后，股票要么 120 元，要么 80 元。我们给这个股票定价一个执行价为 105 的看涨期权。

到期收益很简单：

上涨状态：f_u = max(120 - 105, 0) = 15
下跌状态：f_d = max(80 - 105, 0) = 0

嗯，这里要注意：如果下跌了，期权就废纸一张。

4.2 风险中性定价公式：为什么可以“假装”投资者不关心风险？

这是整个课程最核心的问题。为什么我们可以假设在一个“风险中性”的世界里定价？

我刚开始教这门课的时候，很多学生不理解：明明现实中的投资者都是风险厌恶的，凭什么假设他们风险中性？

答案其实很巧妙：因为我们可以通过构建一个无风险组合，把风险对冲掉。一旦风险被对冲了，投资者是什么风险偏好就不重要了。你想想看，一个完全无风险的组合，它的收益率必须等于无风险利率，这是套利定价的铁律。

风险中性定价公式如下：

f = e^(-rΔt) × [p × f_u + (1-p) × f_d]

其中 p 是风险中性概率：

p = (e^(rΔt) - d) / (u - d)

注意，这个 p 不是真实世界中股票上涨的概率。它是“风险中性世界”里的概率。你不需要去预测市场涨跌，只需要知道 u、d 和 r 就够了。

用刚才的例子算一下：

p = (e^(0.05×1) - 0.8) / (1.2 - 0.8)
  = (1.05127 - 0.8) / 0.4
  = 0.25127 / 0.4
  = 0.6282

f = e^(-0.05) × [0.6282 × 15 + 0.3718 × 0]
  = 0.95123 × 9.423
  = 8.96 元

所以这个看涨期权的合理价格是 8.96 元。

核心要点：风险中性定价的本质是“换个坐标系看问题”。在真实世界里定价需要知道投资者的风险偏好，太难了。但在风险中性世界里，所有资产的期望收益率都是无风险利率，定价就变成了简单的期望折现。

4.3 对冲比率：Delta 的直觉理解

对冲比率，也叫 Delta，是二叉树模型里另一个关键概念。它回答的问题是：为了复制期权的收益，我需要持有多少股票？

公式很简单：

Δ = (f_u - f_d) / (S₀ × u - S₀ × d)

用我们的例子：

Δ = (15 - 0) / (120 - 80) = 15 / 40 = 0.375

这意味着：每卖出一份看涨期权，你需要买入 0.375 股股票来对冲风险。

我曾经在给一个私募做风控系统时，发现他们的交易员手动计算 Delta 时经常搞混符号。卖期权是负 Delta，买期权是正 Delta。这个细节看起来小，但真金白银的仓位算错了，后果很严重。

实战技巧：Delta 还有一个直观理解——它近似等于期权到期时处于价内状态的概率（在风险中性世界里）。你看，0.6282 的风险中性概率对应 15 元的收益，Delta 是 0.375，两者不相等但正相关。记住这个关系，以后做多期模型时能帮你快速检查计算结果是否合理。

4.4 知识体系总览

下面这张图把单期二叉树的核心逻辑串起来了。我建议你多看几遍，把模型设定、定价公式、对冲比率这三块之间的逻辑关系理清楚。

4.5 避坑指南

做单期二叉树定价，有几个坑我踩过，分享给你：

坑一：u 和 d 的关系

我曾经在项目中直接用 u=1.2, d=0.8，结果发现 u×d = 0.96 ≠ 1。这会导致模型有漂移。虽然单期模型里问题不大，但多期模型会累积偏差。建议用 u = e^(σ√Δt)，d = e^(-σ√Δt)，保证 u×d = 1。

坑二：风险中性概率必须在 0 到 1 之间

如果算出来的 p 不在 [0,1] 区间，说明 u、d 设置不合理，存在套利机会。检查一下：是否 e^(rΔt) 在 d 和 u 之间？这是无套利的基本条件。

坑三：Delta 的符号

看涨期权的 Delta 是正的（0 到 1 之间），看跌期权的 Delta 是负的（-1 到 0 之间）。如果你算出来看涨期权的 Delta 是负数，赶紧检查公式。我见过有人把分子分母搞反了，结果对冲方向完全错误。

4.6 小结

单期二叉树模型虽然简单，但它把风险中性定价的三个核心要素都讲透了：

模型设定：S₀、u、d、r、Δt，五个参数定义一个世界
风险中性定价：用 p 代替真实概率，把定价变成期望折现
对冲比率：Delta 告诉你如何用股票复制期权

这三个概念，是后面所有衍生品定价的基础。你把这个章节吃透了，后面学多期二叉树、Black-Scholes 模型，都会觉得顺理成章。

嗯，今天就到这里。记住：单期二叉树不是玩具，它是你理解整个金融工程大厦的第一块砖。

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