2、时域分析基础：时间序列的表示方法、均值与方差、自相关函数、平稳性概念
各位同学，欢迎来到时域分析的第一课。
我个人习惯把时域分析看作是信号处理的「原汤」。为什么这么说？因为所有频域、小波域的花活，最终都要回到时间轴上来验证。你想想看，交易数据本质上就是一根时间轴上的价格跳动，搞不懂时域，后面那些高级工具用起来心里会发虚。
2.1 时间序列的表示方法
时间序列，说白了就是按时间顺序排好的一串数字。比如某只股票每分钟的收盘价：
# 一个简单的时间序列示例
price_series = [100.5, 100.8, 101.2, 100.9, 101.5, 102.0, 101.8]
time_index = ['09:31', '09:32', '09:33', '09:34', '09:35', '09:36', '09:37']嗯，这里要注意：时间序列的「顺序」就是一切。你不能像处理普通数组那样随意打乱它。我在项目中遇到过有人把数据按价格排序后做分析，结果完全失去了时间信息，那叫一个惨。
常见的表示方法有三种：
- 列表/数组形式：最直接，索引对应时间点
- 时间戳索引形式：每个数据点带一个时间标签，适合不规则采样
- 滑动窗口形式：用固定长度的窗口截取子序列，做特征提取
2.2 均值与方差：信号的「重心」和「抖动」
均值，就是信号的平均水平。方差，衡量信号围绕均值波动的剧烈程度。
公式很简单：
均值 μ = (1/N) * Σ x_i
方差 σ² = (1/N) * Σ (x_i - μ)²但实战中，我建议你用「滚动均值」和「滚动方差」——也就是只取最近 N 个数据点算。为什么？因为金融数据是非平稳的，全局均值可能毫无意义。比如某股票十年前均价 50 块，现在 200 块，你用全局均值去判断当前价格高低，那不是扯淡吗？
| 统计量 | 物理含义 | 交易中的应用 |
|---|---|---|
| 均值 | 信号的直流分量 | 判断价格中枢、布林带中轨 |
| 方差 | 信号的波动能量 | 衡量市场波动率、设置止损宽度 |
2.3 自相关函数：信号「记得」自己吗？
自相关函数，听起来高大上，其实就一个问题：当前价格和过去某个时刻的价格有没有关系？
公式：
自相关系数 ρ(k) = Cov(x_t, x_{t-k}) / σ²其中 k 是滞后阶数。ρ(k) 接近 1，说明正相关强；接近 -1，说明负相关强；接近 0，说明没啥关系。
我举个例子。你观察某只股票，发现今天涨了，明天也容易涨——这就是正自相关。反过来，今天涨了明天就跌——这是负自相关。如果今天涨跌对明天没影响——那就是白噪声，自相关接近 0。
实战中怎么看？我一般画个自相关图（ACF plot）：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
# 模拟一个具有正自相关的序列
np.random.seed(42)
data = np.random.randn(100)
# 加入一阶自相关
for i in range(1, len(data)):
data[i] = 0.7 * data[i-1] + np.random.randn() * 0.5
plot_acf(data, lags=20)
plt.show()如果前几个滞后阶数的柱子明显超出蓝色置信区间，说明存在自相关结构。这时候你就可以考虑用 AR 模型去捕捉它。
2.4 平稳性概念：信号「老实」吗？
平稳性，是时域分析里最绕不开的概念。说白了，一个平稳的时间序列，它的统计性质（均值、方差、自相关）不随时间变化。
严格来说有两种：
- 严平稳：所有统计性质完全不变。太严格，现实中几乎不存在。
- 弱平稳（宽平稳）：均值恒定、方差恒定、自相关只依赖于时间间隔（滞后阶数），不依赖于具体时间点。这是实战中常用的。
为什么这么重要？因为大多数时间序列模型（ARIMA、GARCH 等）都假设数据是平稳的。你用非平稳数据去建模，结果就是伪回归——看着拟合得很好，一预测就崩。
检验平稳性，常用 ADF 检验（Augmented Dickey-Fuller test）：
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
# 假设 price 是价格序列
result = adfuller(price)
print(f'ADF 统计量: {result[0]}')
print(f'p-value: {result[1]}')
# p-value < 0.05 通常认为序列平稳如果 p-value 大于 0.05，说明序列非平稳。这时候你需要做差分，直到它平稳为止。
2.5 本章知识体系总览
下面这张图，是我自己梳理的时域分析基础框架。你可以把它当作一张地图，随时回来对照：
这张图把四个核心概念串起来了。你从「时间序列」出发，往四个方向延伸，每个方向都有对应的工具和实战要点。我个人建议你把它打印出来贴在工位上，做分析时瞄一眼，思路会清晰很多。
好了，时域分析的基础就讲到这里。均值、方差、自相关、平稳性——这四个概念是后续所有信号提取技术的基石。别急着往下赶，先把它们吃透。下一章我们会聊频域分析，到时候你会发现，时域和频域其实是同一枚硬币的两面。