久期与凸性：利率风险计量的两把尺子

聊到利率风险计量，久期和凸性是绕不开的两个基础概念。我刚开始做衍生品交易那会儿，总觉得这俩东西就是书本上的数学公式，直到有一次在利率互换组合上栽了跟头——账面浮盈看着挺好，结果市场一波动，实际损益跟模型预测差了十万八千里。嗯，从那以后我才真正理解，久期和凸性不是理论玩具，而是实打实的风控工具。

一、久期：说白了就是“价格对利率的敏感度”

久期（Duration）这个概念，最早是麦考利（Macaulay）在1938年提出来的。它的核心思想很简单：衡量债券价格对利率变化的敏感程度。你想想看，利率涨1%，债券价格跌多少？久期就是回答这个问题的。

我个人习惯把久期理解为“价格弹性的时间维度”。一个久期为5年的债券，利率每上升1%，价格大约下跌5%。反过来，利率下降1%，价格大约上涨5%。当然，这只是近似值，真正精确的计算还得靠凸性来修正。

1.1 麦考利久期 vs 修正久期

实际工作中，我们更常用的是修正久期（Modified Duration）。麦考利久期是加权平均回收期，而修正久期直接给出了价格变动百分比。公式很简单：

修正久期 = 麦考利久期 / (1 + 到期收益率 / 付息频率)

举个例子：一个面值100元、票息5%、期限5年的债券，当前收益率4%，麦考利久期算出来是4.5年。那么修正久期就是：

修正久期 = 4.5 / (1 + 0.04/1) = 4.33

这意味着收益率每变动1%，债券价格变动约4.33%。

1.2 久期的局限性

久期有个致命缺陷——它假设价格与利率是线性关系。但现实世界哪有这么简单？利率变动越大，久期的预测误差就越大。我曾经用久期估算一个30年期国债的利率风险，结果利率突然跳升50个基点，实际价格跌幅比久期预测多了将近1%。这就是凸性在起作用。

二、凸性：修正久期误差的“补丁”

凸性（Convexity）衡量的是价格-利率曲线的弯曲程度。说白了，就是久期本身对利率的敏感度。凸性越大，曲线越弯，久期的线性近似误差就越大。

数学上，凸性是对价格函数求二阶导数。公式长这样：

凸性 = (1/P) × (d²P/dy²)

其中P是债券价格，y是到期收益率。实际计算时，我们通常用数值方法：

凸性 ≈ (P_down + P_up - 2×P_0) / (P_0 × (Δy)²)

这里P_down是收益率下降Δy后的价格，P_up是收益率上升Δy后的价格，P_0是当前价格。

三、实战应用：久期与凸性的配合

在实际风控中，久期和凸性从来都是搭配使用的。修正久期给出线性近似，凸性给出二次修正项。完整的价格变动公式是：

ΔP/P ≈ -修正久期 × Δy + 0.5 × 凸性 × (Δy)²

你看，凸性项前面有个0.5的系数，而且Δy是平方项。这意味着：

• 利率下降时，凸性会让价格涨得更多（正凸性）
• 利率上升时，凸性会让价格跌得更少（正凸性）

所以，正凸性对投资者是有利的。这也是为什么含权债券（比如可赎回债券）的凸性通常是负的——发行人有权利提前赎回，限制了价格上涨空间。

3.1 一个完整的计算示例

假设我们持有一个债券，修正久期5.2，凸性42.8，当前价格102.5元。现在利率上升50个基点（0.5%），价格会怎么变？

久期项 = -5.2 × 0.005 = -0.026 = -2.6%
凸性项 = 0.5 × 42.8 × (0.005)² = 0.5 × 42.8 × 0.000025 = 0.000535 = 0.0535%
总变动 = -2.6% + 0.0535% = -2.5465%
新价格 ≈ 102.5 × (1 - 0.025465) = 99.89元

如果只用久期，你会得到新价格99.84元，差了0.05元。别小看这5分钱，在几十亿规模的投资组合里，这就是几百万的误差。

四、知识体系总览

下面这张图是我自己整理的久期与凸性知识框架，方便你快速回顾：

五、几个容易踩的坑

最后分享几个我亲身经历过的教训：

1. 别把久期当常数：久期会随着利率和期限变化。我记得有一次做压力测试，直接用期初的久期算了一整年的风险敞口，结果实际敞口早就变了。久期需要定期重算。
2. 凸性不是越大越好：正凸性确实有利，但高凸性通常意味着低收益率。你要在凸性和收益之间找平衡。
3. 含权债券要小心：可赎回债券的凸性在利率下降时会变成负的。我见过有人用普通债券的凸性公式去算可赎回债，结果完全对不上。
4. 组合久期不是简单加权：不同债券的久期不能直接加权平均，要考虑收益率曲线形状。我习惯用关键利率久期（Key Rate Duration）来做组合分析。

好了，久期和凸性的核心内容就这些。记住：久期是基础，凸性是修正，两者结合才能准确计量利率风险。下次做风控模型时，别忘了把凸性加上去。

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