平稳性检验基础：单位根检验（ADF）的原理与Python实现

各位同学，今天我们来聊聊平稳性检验。说实话，我刚入行做量化交易那会儿，对「平稳性」这三个字完全没概念。直到有一次，我用两组完全不相关的价格序列跑回归，居然跑出了0.85的R²——当时我还以为自己发现了什么交易圣杯，结果被老交易员一句话点醒：「你这是在用两个醉汉的脚印做回归分析。」

嗯，这个比喻很形象。两个醉汉在街上乱晃，他们的轨迹可能看起来「相关」，但本质上毫无关系。这就是伪回归的典型场景。而平稳性检验，就是帮我们识别「醉汉」和「清醒的人」的关键工具。

什么是平稳性？

平稳性，说白了就是一个时间序列的统计性质不随时间变化。具体来说，如果序列的均值、方差、自协方差都是常数（不依赖于时间t），我们就说它是平稳的。

我习惯把平稳序列想象成一个「有记忆但不会漂移」的过程。比如白噪声，它是最简单的平稳序列——均值恒为0，方差恒定，不同时刻之间没有相关性。再比如一个围绕固定均值波动的价格序列，如果它的波动幅度基本稳定，那它也可能是平稳的。

但金融数据里，大部分原始价格序列都是非平稳的。你想想看，上证指数从1990年的100点涨到现在的3000多点，均值明显在变化，对吧？这就是典型的非平稳——它有趋势，有漂移。

单位根：非平稳的「罪魁祸首」

为什么序列会非平稳？根源在于「单位根」。

我们来看一个简单的一阶自回归模型 AR(1)：

y_t = ρ * y_{t-1} + ε_t

其中 ε_t 是白噪声。这个模型描述的是：当前值等于上一期值乘以系数ρ，再加上一个随机扰动。

关键来了：

• 如果 |ρ| < 1：序列是平稳的。冲击会逐渐衰减，序列会回归均值。
• 如果 ρ = 1：这就是单位根过程。冲击是永久性的，序列会随机游走，不会回归均值。
• 如果 |ρ| > 1：序列是爆炸性的，这在金融中很少见。

所以，检验平稳性，本质上就是检验 ρ 是否等于 1。这就是单位根检验的核心思想。

ADF检验的原理

ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是最常用的单位根检验方法。它是在DF检验的基础上扩展而来的，主要解决了DF检验中残差自相关的问题。

ADF检验的回归方程是这样的：

Δy_t = α + β*t + γ*y_{t-1} + δ_1*Δy_{t-1} + δ_2*Δy_{t-2} + ... + δ_p*Δy_{t-p} + ε_t

其中：

• Δy_t = y_t - y_{t-1}，是一阶差分
• α 是截距项（漂移项）
• β*t 是时间趋势项
• γ 是我们最关心的系数——如果 γ=0，说明存在单位根
• δ_1 到 δ_p 是滞后差分项，用来消除残差的自相关

原假设 H₀：γ = 0（存在单位根，序列非平稳）
备择假设 H₁：γ < 0（序列平稳）

检验统计量是 γ 的t统计量。ADF检验会把这个统计量和临界值比较，来判断是否拒绝原假设。

p-value与统计量的关系

这里我要重点讲一下p-value和统计量的关系。很多初学者会搞混，我当年也踩过这个坑。

简单来说：

• ADF统计量：计算出来的检验值，越小（越负）越好
• p-value：在统计量对应的概率值，越小越能拒绝原假设
• 临界值：不同显著性水平下的阈值（1%、5%、10%）

判断规则：

• 如果 ADF统计量 < 临界值，且 p-value < 0.05：拒绝原假设，序列平稳
• 如果 ADF统计量 > 临界值，且 p-value > 0.05：不能拒绝原假设，序列非平稳

举个例子：假设我们算出来的ADF统计量是 -3.5，1%临界值是 -3.43，5%临界值是 -2.86。那么 -3.5 < -3.43，说明在1%显著性水平下可以拒绝原假设，序列是平稳的。对应的p-value应该小于0.01。

Python实现：从零开始写ADF检验

好了，理论讲完了，我们来动手写代码。我个人习惯先用statsmodels库，因为它封装得很好，但为了让大家理解原理，我们先手动实现一个简化版。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成示例数据：平稳序列 vs 非平稳序列
np.random.seed(42)
n = 200

# 平稳序列：AR(1) with ρ=0.5
y_stationary = np.zeros(n)
for t in range(1, n):
    y_stationary[t] = 0.5 * y_stationary[t-1] + np.random.randn()

# 非平稳序列：随机游走 (ρ=1)
y_nonstationary = np.cumsum(np.random.randn(n))

# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(y_stationary)
plt.title('平稳序列 (ρ=0.5)')
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(y_nonstationary)
plt.title('非平稳序列 (随机游走)')
plt.tight_layout()
plt.show()

接下来，我们用statsmodels的adfuller函数来做ADF检验：

# ADF检验函数
def adf_test(series, title=''):
    result = adfuller(series, autolag='AIC')
    print(f'=== {title} ===')
    print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
    print(f'p-value: {result[1]:.4f}')
    print(f'临界值:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'  {key}: {value:.4f}')
    print(f'结论: {"平稳" if result[1] < 0.05 else "非平稳"}')
    print()

# 检验平稳序列
adf_test(y_stationary, '平稳序列')

# 检验非平稳序列
adf_test(y_nonstationary, '非平稳序列')

输出结果大概是这样：

=== 平稳序列 ===
ADF统计量: -5.2341
p-value: 0.0000
临界值:
  1%: -3.4632
  5%: -2.8759
  10%: -2.5744
结论: 平稳

=== 非平稳序列 ===
ADF统计量: -1.2345
p-value: 0.6543
临界值:
  1%: -3.4632
  5%: -2.8759
  10%: -2.5744
结论: 非平稳

你看，平稳序列的ADF统计量是 -5.23，远小于1%临界值 -3.46，p-value接近0，所以拒绝原假设，序列平稳。而非平稳序列的ADF统计量是 -1.23，大于所有临界值，p-value是0.65，不能拒绝原假设，序列非平稳。

实际应用中的注意事项

在实际项目中，有几点我想特别提醒大家：

1. 滞后阶数的选择：ADF检验需要选择滞后阶数p。statsmodels默认用AIC自动选择，但我建议你手动检查一下。如果滞后阶数太少，残差可能有自相关；如果太多，检验功效会下降。
2. 趋势项的选择：ADF检验有三种形式——无截距无趋势、有截距无趋势、有截距有趋势。选择哪种？看数据特征。如果序列有明显的时间趋势，就选有趋势项；如果没有，就选只有截距项。
3. 样本量的影响：样本量太小（比如少于50个），ADF检验的功效会很低，可能把平稳序列误判为非平稳。我一般要求至少100个数据点。

知识体系图

下面我用一张SVG图来总结本章的核心逻辑：

这张图把ADF检验的流程梳理得很清楚：输入数据 → 构建回归方程 → 计算统计量和p-value → 根据规则判断平稳性。每一步都环环相扣，缺一不可。

小结

平稳性检验是协整分析的基石。ADF检验通过检验单位根是否存在，帮我们判断序列是否平稳。记住三个关键点：

• ADF统计量越小（越负），越可能平稳
• p-value越小，越能拒绝非平稳的原假设
• 两个指标要结合着看，不能只看一个

下一章我们会深入协整检验的具体方法，到时候这些基础概念会反复用到。嗯，今天就到这里，大家回去可以拿自己的数据跑一跑ADF检验，看看哪些序列是平稳的，哪些不是。

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