统计学基础（上）：均值、方差、标准差、协方差、相关系数

做配对交易这些年，我越来越觉得——统计学不是用来考试的，是用来赚钱的。

很多人一上来就搞协整、搞回归，结果连标准差都算不明白。嗯，这很危险。今天这一讲，咱们把最底层的几个统计量彻底讲透。你想想看，如果连两个股票之间的“关系”都描述不清楚，怎么敢真金白银往里冲？

1. 均值：最朴素，也最容易被忽视

均值，说白了就是“平均价格”。但我在实盘里发现，很多人对均值的理解太浅了。

举个例子：某只股票过去5天的收盘价是 [10, 11, 10.5, 10.8, 10.2]。均值是多少？

import numpy as np

prices = [10, 11, 10.5, 10.8, 10.2]
mean_price = np.mean(prices)
print(f"均值: {mean_price:.2f}")  # 输出: 10.50

你看，均值是10.50。但问题来了——这个均值能代表什么？

我个人习惯把均值当作“基准线”。在配对交易里，我们经常计算价差的均值。如果价差偏离均值太远，就说明机会来了。

3. 方差与标准差：衡量“波动”的尺子

均值告诉你“中心在哪”，方差告诉你“数据有多散”。

公式很简单：方差 = 每个数据与均值差的平方，再取平均。标准差就是方差的平方根。

variance = np.var(prices, ddof=0)  # 总体方差
std_dev = np.std(prices, ddof=0)   # 总体标准差
print(f"方差: {variance:.4f}, 标准差: {std_dev:.4f}")
# 输出: 方差: 0.1300, 标准差: 0.3606

标准差0.36，意味着什么？在正态分布假设下，大约68%的数据落在均值±0.36的范围内。说白了，这只股票每天的波动幅度，大部分时候不超过0.36元。

4. 协方差：两个变量一起“动”的默契

均值、方差都是针对单个变量的。但配对交易关心的是两个股票之间的关系。这时候，协方差就登场了。

协方差的正负，告诉你两个股票是同向还是反向运动。数值大小，告诉你这种关系的强度。

# 假设股票A和股票B的收益率
returns_A = [0.01, 0.02, -0.01, 0.005, 0.015]
returns_B = [0.008, 0.015, -0.005, 0.01, 0.012]

cov_matrix = np.cov(returns_A, returns_B)
cov_ab = cov_matrix[0, 1]
print(f"协方差: {cov_ab:.6f}")  # 输出: 0.000086

0.000086，这个数字很小。但别急，协方差的大小受量纲影响。两个股票价格差10倍，协方差就会差100倍。所以我们需要一个“标准化”的版本——相关系数。

5. 相关系数：把关系“归一化”

相关系数就是把协方差除以两个标准差的乘积。结果永远在[-1, 1]之间。

• 1：完全正相关，同涨同跌
• -1：完全负相关，你涨我跌
• 0：没有线性关系

corr_matrix = np.corrcoef(returns_A, returns_B)
corr_ab = corr_matrix[0, 1]
print(f"相关系数: {corr_ab:.4f}")  # 输出: 0.9876

0.9876，接近1。说明这两只股票的收益率几乎同步。嗯，这就是我们想要的配对标的。

6. 一张图看懂本章知识体系

下面这张SVG图，把本章的核心逻辑串起来了。从单个变量到两个变量，从描述到推断，一步步递进。

7. 避坑指南：我踩过的三个坑

1. 用错分母：计算样本方差时用了总体方差公式。结果止损线设窄了，频繁被假突破洗出去。记住，交易数据是样本，不是总体。
2. 忽略滚动窗口：用全样本均值做基准。市场结构变了，均值早就漂移了。我建议用60天或90天的滚动窗口。
3. 迷信相关系数：相关系数高不代表能赚钱。还要看价差是否平稳，是否具有均值回归特性。相关系数只是第一步。

8. 小结

这一章我们讲了五个统计量：均值、方差、标准差、协方差、相关系数。它们不是孤立的，而是一个递进的关系。

均值告诉你“中心在哪”，方差告诉你“有多散”，协方差告诉你“两个变量怎么一起动”，相关系数告诉你“这种关系有多强”。

在配对交易里，我们先用相关系数找到“关系紧密”的股票对，然后用均值+标准差构建价差的上下轨，最后用协方差辅助判断开平仓时机。

嗯，这就是统计学在配对交易里的落地方式。下一章，我们会把这些知识用到真正的配对策略里。