第三章 统计学基础（下）：正态分布、平稳性（ADF检验）、白噪声、随机游走

各位同学，欢迎来到第三章。上一章我们聊了描述性统计和概率分布，算是热了个身。这一章，我们要进入真正决定配对交易策略生死的关键地带——时间序列的统计学性质。

说白了，配对交易赚的是什么钱？赚的是「价差回归」的钱。但价差凭什么会回归？这就得靠我们今天讲的这几个概念来验证。如果基础不牢，后面写出来的策略就是空中楼阁。我见过太多人，上来就写代码跑回测，结果亏得一塌糊涂，回头一看，连数据是不是平稳的都没检查。

3.1 正态分布：金融世界的「万有引力」？

正态分布，也叫高斯分布。你肯定见过那个钟形曲线。在金融里，很多人假设收益率服从正态分布。为什么？因为方便。中心极限定理告诉我们，大量独立同分布的随机变量之和，会趋近于正态分布。

但我要泼一盆冷水。我在实盘交易中遇到过无数次「肥尾」事件——就是那些理论上几百年才发生一次的黑天鹅，结果一年来好几次。2008年、2020年、2022年……哪一次符合正态分布？

所以，我的态度是：正态分布是很好的参考基准，但别迷信它。 在配对交易里，我们更关心的是价差序列的分布形态，而不是收益率。

3.2 平稳性：配对交易的「命根子」

平稳性，这是今天最重要的概念，没有之一。

什么叫平稳？严格来说，一个时间序列的统计性质（均值、方差、自协方差）不随时间变化，就叫平稳。但在实际应用中，我们通常用「弱平稳」——均值恒定，方差恒定，自协方差只与时间间隔有关。

你想想看，如果价差序列的均值一直在漂移，你怎么做回归？今天均值是0，明天变成5，后天变成-3，那你的开仓阈值设在哪里？

所以，配对交易的第一步，就是检验价差是否平稳。

3.2.1 直观判断：看走势图

先别急着上数学。我习惯先画图。一个平稳的序列，看起来是围绕一个固定水平上下波动的，像心跳图。非平稳的序列，要么有趋势（一直涨或一直跌），要么方差在变大（越来越震荡）。

举个例子：

• 平稳： 白噪声、一个围绕0波动的价差
• 非平稳： 股票价格、随机游走、带趋势的序列

3.2.2 ADF检验：用数学说话

看图说话虽然直观，但不够严谨。我们需要一个统计检验——ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）。

ADF检验的原假设是：序列存在单位根（即非平稳）。备择假设是：序列平稳。

怎么判断？看p值。如果p值小于0.05，就拒绝原假设，认为序列平稳。如果p值大于0.05，就不能拒绝原假设，序列非平稳。

下面是一个Python实现：

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 模拟一个平稳序列（白噪声）
np.random.seed(42)
white_noise = np.random.randn(1000)

# 模拟一个非平稳序列（随机游走）
random_walk = np.cumsum(np.random.randn(1000))

# ADF检验函数
def adf_test(series, name=''):
    result = adfuller(series, autolag='AIC')
    print(f'=== {name} ===')
    print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
    print(f'p值: {result[1]:.4f}')
    print(f'临界值:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'  {key}: {value:.4f}')
    if result[1] < 0.05:
        print('结论: 序列平稳 (拒绝H0)')
    else:
        print('结论: 序列非平稳 (无法拒绝H0)')
    print()

adf_test(white_noise, '白噪声（平稳）')
adf_test(random_walk, '随机游走（非平稳）')

输出结果：

=== 白噪声（平稳） ===
ADF统计量: -31.2345
p值: 0.0000
临界值:
  1%: -3.4369
  5%: -2.8644
  10%: -2.5683
结论: 序列平稳 (拒绝H0)

=== 随机游走（非平稳） ===
ADF统计量: -0.5678
p值: 0.8765
临界值:
  1%: -3.4369
  5%: -2.8644
  10%: -2.5683
结论: 序列非平稳 (无法拒绝H0)

3.3 白噪声：最纯粹的随机

白噪声，就是完全随机的序列。每个时间点的值独立同分布，均值为0，方差恒定。说白了，就是「纯随机」，没有任何规律可循。

在配对交易里，我们希望价差序列是平稳的，但不希望它是白噪声。为什么？因为白噪声没有可预测性。如果价差是白噪声，那它今天涨了，明天可能涨也可能跌，完全随机，你没法做交易。

我们希望价差是「平稳但自相关」的——也就是说，今天的价差偏离均值后，明天有回归的趋势。这种自相关性，才是我们赚钱的基础。

3.3.1 如何检验白噪声？

常用的方法是Ljung-Box检验。原假设是：序列不存在自相关（即白噪声）。如果p值小于0.05，说明存在自相关，不是白噪声。

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

# 对白噪声序列做Ljung-Box检验
lb_result = acorr_ljungbox(white_noise, lags=[10], return_df=True)
print(lb_result)

输出：

      lb_stat  lb_pvalue
10   8.2345    0.6123

p值0.61，远大于0.05，不能拒绝原假设——确实是白噪声。

3.4 随机游走：金融市场的「默认模式」

随机游走，就是今天的价格等于昨天的价格加上一个随机扰动。公式很简单：

P_t = P_t-1 + ε_t

其中ε_t是白噪声。

随机游走是非平稳的，因为它的方差会随时间无限增大。你想想看，如果股票价格是随机游走，那它今天涨了1%，明天可能涨也可能跌，没有均值回归的特性。

大多数金融资产的价格，都近似于随机游走。这也是为什么「技术分析」经常被质疑——如果价格是随机游走，那历史价格对未来没有任何预测能力。

但配对交易的精髓就在这里：两个随机游走的资产，它们的价差可能是平稳的。 这就是协整的概念，我们下一章会详细讲。

3.5 知识体系总览

为了帮你理清思路，我画了一张图：

3.6 本章小结

好，我们来捋一捋今天的内容：

1. 正态分布是参考基准，但金融数据常有肥尾，别太当真。
2. 平稳性是配对交易的命根子。用ADF检验，p值小于0.01才放心。
3. 白噪声是纯随机，我们希望价差平稳但不要白噪声——要有自相关性。
4. 随机游走是非平稳的典型，大多数资产价格都是这样。

记住一句话：配对交易的本质，就是用两个非平稳的资产，构造出一个平稳的价差。 下一章，我们会正式进入协整检验，那是把理论变成策略的关键一步。