2、相机成像模型：从三维世界到二维像素

做双目深度相机标定，第一个绕不开的坎就是相机成像模型。说白了，就是搞明白「三维空间里的一个点，是怎么变成照片上那个像素的」。我刚开始接触这个的时候，也觉得公式一堆挺唬人，但后来发现，只要把几个坐标系的关系理清楚，剩下的就是套公式了。

2.1 针孔相机模型——最朴素的成像原理

针孔相机模型，是所有相机模型的「老祖宗」。它假设光线是直线传播的，穿过一个小孔，在后面的成像平面上形成倒像。嗯，这里要注意，实际相机用的是透镜，但数学上我们把它等效成针孔模型来处理。

我记得第一次做标定时，导师跟我说：「你先别管畸变，把针孔模型吃透了再说。」后来发现，确实如此。针孔模型是基础，畸变只是在这个基础上加了个「修正项」。

针孔模型的数学表达式很简单：

// 理想针孔成像关系
x = f * (X / Z)
y = f * (Y / Z)

其中 (X, Y, Z) 是三维空间点在相机坐标系下的坐标，(x, y) 是成像平面上的物理坐标，f 是焦距。这个公式我建议你背下来，因为后面所有的推导都从这里出发。

2.2 世界坐标系与相机坐标系——谁在动？

世界坐标系是固定的，你可以把它理解为「绝对坐标」。相机坐标系则是跟着相机走的，相机动，坐标系就动。

那问题来了：世界坐标系里的一个点，怎么转到相机坐标系里？

答案是：旋转 + 平移。也就是我们常说的 外参矩阵。

// 世界坐标系 → 相机坐标系
P_cam = R * P_world + T

这里 R 是 3x3 的旋转矩阵，T 是 3x1 的平移向量。我在项目中遇到过一个问题：旋转矩阵的表示方式有好几种（欧拉角、四元数、旋转向量），不同 SDK 用的不一样，标定结果对不上。后来我统一用旋转向量 + Rodrigues 公式转换，才解决了这个问题。

2.3 图像坐标系与像素坐标系——物理单位 vs 像素单位

这两个坐标系最容易搞混。我刚开始学的时候，就栽在这上面。

• 图像坐标系：单位是毫米（mm），原点在成像平面中心，描述物理位置。
• 像素坐标系：单位是像素（pixel），原点在图像左上角，描述像素位置。

从图像坐标 (x, y) 到像素坐标 (u, v) 的转换，需要知道两个参数：

• dx, dy：每个像素在 x 和 y 方向上的物理尺寸（mm/pixel）
• u0, v0：主点（光轴与成像平面的交点）的像素坐标

// 图像坐标系 → 像素坐标系
u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

你想想看，如果 dx 和 dy 不相等，像素就是矩形的，不是正方形的。很多廉价摄像头就是这样，标定的时候必须考虑进去。

2.4 内参矩阵——把上面三步合起来

把世界坐标到像素坐标的整个过程写成矩阵形式，就是大名鼎鼎的 内参矩阵 K：

K = [fx,  0, u0,
      0, fy, v0,
      0,  0,  1]

其中 fx = f / dx, fy = f / dy。注意，fx 和 fy 不一定相等，原因我刚才说了——像素可能是矩形的。

完整的投影公式：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | T] * [X, Y, Z, 1]^T

s 是尺度因子，因为从 3D 到 2D 丢失了深度信息，所以这里有个齐次坐标的归一化过程。

2.5 镜头畸变——理想很丰满，现实很骨感

针孔模型假设光线是直线，但实际镜头是透镜，光线会弯曲。这就产生了畸变。畸变主要分两种：

径向畸变（Radial Distortion）

说白了就是「画面中间正常，越往边缘越变形」。常见的有两种：

• 桶形畸变：画面像被吹鼓了，中间往外凸。广角镜头常见。
• 枕形畸变：画面像被往里压，中间往里凹。长焦镜头常见。

径向畸变的数学模型用三个参数 k1, k2, k3 来描述：

// 径向畸变修正
x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r 是像素到主点的距离。k3 一般只在畸变很大的镜头（比如鱼眼）才用，普通镜头用 k1, k2 就够了。

切向畸变（Tangential Distortion）

这个是因为镜头和成像平面不平行造成的。说白了就是「镜头装歪了」。用两个参数 p1, p2 来描述：

// 切向畸变修正
x_corrected = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_corrected = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

2.6 本章知识体系总览

下面这张图，把整个相机成像模型的流程串起来了。我建议你多看几遍，把每个坐标系之间的变换关系刻在脑子里。

2.7 小结

相机成像模型，说白了就是四步走：

1. 世界坐标 → 相机坐标（外参：R, T）
2. 相机坐标 → 图像坐标（透视投影：fx, fy）
3. 图像坐标 → 像素坐标（主点偏移：u0, v0）
4. 畸变修正（径向 + 切向）

这四步对应的参数，就是我们要标定的全部内容。后面的章节，我们会一步步教你怎么用 OpenCV 把这些参数算出来。

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