3、单目标定原理：内参矩阵与外参矩阵、单应性矩阵、张正友标定法、棋盘格角点检测

聊到单目标定，很多新手第一反应就是「跑个OpenCV的calibrateCamera就完事了」。嗯，确实能出结果，但一旦结果不对，你根本不知道问题出在哪。我当年第一次标定双目时，重投影误差0.3像素，自我感觉良好，结果三维重建出来全是扭曲的——后来才发现是内参矩阵里的主点偏移量算错了。

所以这一章，咱们把单目标定的核心原理掰开揉碎。说白了，就是搞清楚相机怎么把三维世界映射到二维像素的，以及我们怎么反过来推算这个映射关系。

3.1 内参矩阵：相机自己的「基因」

内参矩阵描述的是相机内部的几何特性。它只跟相机本身有关，跟你把相机放在哪儿、对着哪儿拍，都没关系。

标准形式长这样：

K = [fx  0  cx]
    [ 0  fy  cy]
    [ 0   0   1]

其中：

• fx, fy：焦距在x、y方向上的像素尺度。注意，不是物理焦距，是「物理焦距 × 像素密度」。
• cx, cy：主点坐标，也就是光轴与成像平面的交点。理想情况下在图像正中心，但实际总有偏移。

我在项目中遇到过一台工业相机，标出来的cx偏离中心整整15个像素。一开始以为是标定板没放正，反复标了五次，结果都一样。后来查手册才发现，那款相机的传感器封装本身就有偏移——嗯，这就是内参矩阵存在的意义。

3.2 外参矩阵：相机在空间中的「位置和姿态」

外参矩阵描述的是相机坐标系相对于世界坐标系的旋转和平移。它由两部分组成：

• 旋转矩阵 R：3×3，描述三个轴的旋转
• 平移向量 t：3×1，描述相机原点在世界坐标系中的位置

外参矩阵通常写成齐次形式：

[R | t] = [r11 r12 r13 | tx]
         [r21 r22 r23 | ty]
         [r31 r32 r33 | tz]

你想想看，每次移动相机，外参就变了。所以标定的时候，我们拍多张不同角度的棋盘格，本质上就是在求解不同的外参矩阵。

3.3 单应性矩阵：连接两个平面的「桥梁」

单应性矩阵H，是张正友标定法的核心。它描述的是两个平面之间的透视变换关系。

在标定场景中，棋盘格是一个平面（世界坐标系的Z=0平面），成像平面是另一个平面。所以：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X, Y, 0, 1]^T

因为Z=0，可以简化成：

s * [u, v, 1]^T = K * [r1, r2, t] * [X, Y, 1]^T

这里的K * [r1, r2, t]就是单应性矩阵H，3×3的矩阵。

说白了，H把棋盘格上的每个角点，映射到图像上的像素坐标。我们通过检测到的角点对，就能解出H。

3.4 张正友标定法：为什么它成了行业标准？

张正友标定法，说白了就是「用平面棋盘格代替三维标定块」。它最大的贡献是：

1. 不需要精密的3D标定块——打印一张棋盘格就行，成本几乎为零
2. 算法稳定——先闭式求解，再非线性优化，不容易陷入局部最优
3. 考虑了畸变——在优化阶段同时估计径向畸变和切向畸变

它的流程大致是：

1. 检测棋盘格角点
2. 计算每张图的单应性矩阵H
3. 利用H的约束，求解内参矩阵的闭式解
4. 利用内参，反算每张图的外参
5. 加入畸变参数，做全局非线性优化（Levenberg-Marquardt）

我记得第一次手动实现这个流程时，卡在「从H提取内参」那一步。公式推导了整整两天，最后发现OpenCV一行代码就搞定了——但自己推导一遍，对理解帮助极大。

3.5 棋盘格角点检测：成败在此一举

角点检测是标定的第一步，也是最容易出问题的一步。如果角点坐标不准，后面所有计算都是白搭。

OpenCV提供了两个主要函数：

• cv2.findChessboardCorners()：检测棋盘格角点
• cv2.cornerSubPix()：亚像素精炼，把角点精度从像素级提升到亚像素级

使用示例：

import cv2
import numpy as np

# 棋盘格内角点数量（内角点，不是格子数）
pattern_size = (9, 6)

# 读取图像
img = cv2.imread('chessboard.jpg')
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

# 检测角点
ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)

if ret:
    # 亚像素精炼
    criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
    corners_refined = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11,11), (-1,-1), criteria)
    
    # 绘制并显示
    cv2.drawChessboardCorners(img, pattern_size, corners_refined, ret)
    cv2.imshow('Corners', img)
    cv2.waitKey(0)

3.6 本章知识体系

下面这张图，把单目标定的核心逻辑串起来了：

从图上你能看到，整个流程是串行的。角点检测的质量，直接影响H的精度；H的精度，又决定了内参和外参的初始值。最后一步全局优化，把所有参数（内参、外参、畸变）一起做非线性最小二乘，得到最终结果。

好了，单目标定的原理就聊到这儿。下一章我们会把这些原理落地，手把手教你用OpenCV完成一次完整的单目标定。

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