第二章：协整理论入门
各位同学，欢迎来到统计套利的核心地带。今天我们要聊的，是整套策略的基石——协整理论。
说实话，我刚入行那会儿，听到「协整」这个词，第一反应是：这又是什么高大上的数学概念？后来在实盘里摔了几次跟头，才真正明白它的价值。你想想看，两只股票，价格走势看起来很像，但直接做配对交易，往往亏得莫名其妙。为什么？因为它们可能只是「伪相关」。
协整，就是用来解决这个问题的。
一、协整的定义与直观理解
先给个官方定义：如果两个或多个非平稳时间序列的线性组合是平稳的，那么它们之间存在协整关系。
听着有点绕？我换个说法。
想象你牵着一条狗散步。你往前走，狗可能跑到左边闻闻，又跑到右边看看。但不管它怎么跑，绳子牵着，它总会回到你身边。你和狗的位置，各自都是非平稳的（一直在移动），但你们之间的距离——也就是绳子的长度——是平稳的，会在一个均值附近波动。
这就是协整的直观画面。
在金融市场里，两只股票的价格就像你和狗的位置。它们各自随机游走，但彼此之间有一种「牵引力」，让它们的价差不会跑太远。一旦价差过大，市场力量就会把它拉回来。
核心要点：协整 ≠ 相关性。两只高度相关的股票，可能根本没有协整关系。我在项目中就遇到过，两只银行股相关系数0.95，但价差越走越远，做配对交易直接亏了3%。
二、平稳性与单位根检验（ADF检验）
要理解协整，必须先搞懂平稳性。
什么是平稳性？简单说，就是一个时间序列的统计性质（均值、方差）不随时间变化。白噪声就是最典型的平稳序列——它没有趋势，没有季节性，就在零轴附近随机波动。
而非平稳序列呢？比如股票价格，它有趋势，有漂移，均值一直在变。你没法预测它下一秒会跑到哪里去。
怎么判断一个序列是否平稳？最常用的方法就是单位根检验，其中ADF检验是标配。
ADF检验的原假设是：序列存在单位根（即非平稳）。如果p值小于0.05，我们就拒绝原假设，认为序列是平稳的。
来，看代码：
import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
# 模拟一个随机游走（非平稳）
np.random.seed(42)
n = 200
random_walk = np.cumsum(np.random.randn(n))
# ADF检验
result = adfuller(random_walk)
print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
print(f'p值: {result[1]:.4f}')
print(f'临界值: {result[4]}')
# 输出示例：
# ADF统计量: -1.2345
# p值: 0.6543
# 临界值: {'1%': -3.46, '5%': -2.87, '10%': -2.57}
p值0.65，远大于0.05，说明我们不能拒绝原假设——这个序列是非平稳的。
我的习惯：做ADF检验时，我一般会同时看统计量和临界值。如果统计量比1%的临界值还小，那基本稳了。p值虽然方便，但有时候样本量小的时候会不准。
三、Engle-Granger两步法
好了，现在我们知道什么是平稳性了。那怎么找协整关系呢？最经典的方法就是Engle-Granger两步法。
名字听着吓人，其实逻辑很简单：
- 第一步：用OLS回归估计两个序列的线性关系，得到残差。
- 第二步：对残差做ADF检验，看它是否平稳。
如果残差是平稳的，就说明这两个序列存在协整关系。
举个例子：
import statsmodels.api as sm
# 模拟两个协整序列
np.random.seed(42)
n = 200
x = np.cumsum(np.random.randn(n)) # 非平稳
y = 0.8 * x + np.random.randn(n) # 与x协整
# 第一步：OLS回归
x_const = sm.add_constant(x)
model = sm.OLS(y, x_const).fit()
residuals = model.resid
# 第二步：对残差做ADF检验
result = adfuller(residuals)
print(f'残差ADF p值: {result[1]:.4f}')
# 输出：p值通常小于0.05，说明残差平稳
p值小于0.05，说明残差平稳，x和y存在协整关系。这时候，我们就可以放心地做配对交易了。
我曾经踩过的坑：用Engle-Granger两步法时，一定要注意第一步的回归方向。如果你把x和y搞反了，结果可能完全不同。我的建议是：先做经济直觉判断，哪个是驱动因素，哪个是被驱动因素。实在拿不准，就两个方向都试一下。
四、Johansen检验简介
Engle-Granger两步法虽然好用，但它有个硬伤——只能处理两个序列。如果你有三只、四只甚至更多股票想一起分析，它就无能为力了。
这时候，Johansen检验就派上用场了。
Johansen检验的核心思想是：通过向量自回归模型（VAR），同时检验多个序列之间是否存在协整关系，并且能告诉你存在几个协整向量。
用Python实现也很简单：
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen
# 模拟三个协整序列
np.random.seed(42)
n = 200
x1 = np.cumsum(np.random.randn(n))
x2 = 0.7 * x1 + np.random.randn(n)
x3 = 0.5 * x1 + 0.3 * x2 + np.random.randn(n)
data = np.column_stack([x1, x2, x3])
# Johansen检验
result = coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)
print(f'迹统计量: {result.lr1}')
print(f'5%临界值: {result.cvt[:, 1]}')
print(f'最大特征值统计量: {result.lr2}')
print(f'5%临界值: {result.cvtm[:, 1]}')
输出结果里，迹统计量和最大特征值统计量会分别跟临界值比较。如果统计量大于临界值，就拒绝原假设，认为存在对应数量的协整关系。
实用建议：Johansen检验的结果解读，我一般先看迹统计量。如果第一个统计量（r=0）大于临界值，说明至少存在一个协整关系。然后再看第二个（r≤1），以此类推。实际应用中，找到1-2个协整向量就够用了，太多反而容易过拟合。
五、本章知识体系
为了让你更直观地理解本章的逻辑，我画了一张图：
这张图把本章的核心内容串起来了。从协整的定义出发，到平稳性检验，再到两种具体的检验方法，最后落到实际应用。你学完这一章，应该能回答三个问题：什么是协整？怎么检验协整？用哪种方法更合适？
嗯，今天就到这里。下一章我们会用真实数据，手把手带你跑一遍完整的协整检验流程。到时候你会发现，理论懂了，代码写起来其实很快。