1. 货币时间价值：现值(PV)与终值(FV)的数学推导与Python实现
货币时间价值，说白了就是「今天的100块比明天的100块更值钱」。这个道理听起来简单，但真正在交易系统里用起来，坑可不少。我当年刚入行时，就因为搞混了单利和复利，差点让一个债券定价模型出了大问题。
嗯，咱们今天就把这个最基础、也最重要的概念彻底讲透。
1.1 核心逻辑：为什么钱有时间价值？
你想想看，如果你现在有100万，你可以：
- 存银行吃利息
- 买国债赚收益
- 投项目等回报
但如果你一年后才有这100万，你就白白损失了一年的投资机会。所以，未来的钱必须「打折」才能和现在的钱比较。这个打折的比率，就是利率。
核心公式（一句话版）：
终值(FV) = 现值(PV) × (1 + 利率)^时间
现值(PV) = 终值(FV) / (1 + 利率)^时间
1.2 单利 vs 复利：一字之差，天壤之别
我见过不少新手，觉得单利和复利差不多。其实差远了。咱们直接上对比。
| 对比项 | 单利 | 复利 |
|---|---|---|
| 计息基础 | 始终按初始本金 | 本金+累计利息 |
| 增长方式 | 线性增长 | 指数增长 |
| 公式 | FV = PV × (1 + r × t) | FV = PV × (1 + r)^t |
| 适用场景 | 短期借贷、部分债券 | 银行存款、投资、贷款 |
举个例子：100万本金，年利率5%，投资10年。
- 单利终值 = 100万 × (1 + 0.05 × 10) = 150万
- 复利终值 = 100万 × (1 + 0.05)^10 ≈ 162.89万
差了将近13万。时间越长，差距越恐怖。30年的话，单利250万，复利432万——差了182万。
避坑指南： 我曾经在做一个理财产品定价时，对方给的利率是「年化单利5%」，但我直接用复利公式算了现值。结果报价低了，差点亏钱。后来我养成了一个习惯：拿到任何利率，先问清楚是单利还是复利，计息周期是多久。
1.3 数学推导：从定义到公式
咱们来走一遍推导过程。别怕，很简单的。
单利推导：
第一年利息 = PV × r
第二年利息 = PV × r（还是按本金算）
第t年利息 = PV × r
总利息 = PV × r × t
所以：FV = PV + PV × r × t = PV × (1 + r × t)
复利推导：
第一年末：FV₁ = PV × (1 + r)
第二年末：FV₂ = FV₁ × (1 + r) = PV × (1 + r)²
第t年末：FVₜ = PV × (1 + r)^t
反过来，已知终值求现值：
PV = FV / (1 + r)^t
我的小技巧： 在Excel里，我习惯用FV()和PV()函数。但在Python里，我更喜欢手写公式，因为能清楚看到每一步。调试的时候特别有用。
1.4 Python实现：从零开始写代码
咱们直接上代码。我会把单利和复利都实现，再加一个对比函数。
# 单利终值计算
def simple_interest_fv(pv, rate, time):
"""
pv: 现值
rate: 年利率（小数形式，如0.05）
time: 年数
"""
return pv * (1 + rate * time)
# 复利终值计算
def compound_interest_fv(pv, rate, time):
return pv * (1 + rate) ** time
# 现值计算（复利折现）
def present_value(fv, rate, time):
return fv / (1 + rate) ** time
# 来个实际例子
pv = 1000000 # 100万
rate = 0.05 # 5%
time = 10 # 10年
fv_simple = simple_interest_fv(pv, rate, time)
fv_compound = compound_interest_fv(pv, rate, time)
print(f"单利终值: {fv_simple:,.2f} 元")
print(f"复利终值: {fv_compound:,.2f} 元")
print(f"差额: {fv_compound - fv_simple:,.2f} 元")
# 反过来验证：把复利终值折现回来
pv_back = present_value(fv_compound, rate, time)
print(f"折现回现值: {pv_back:,.2f} 元")输出结果：
单利终值: 1,500,000.00 元
复利终值: 1,628,894.63 元
差额: 128,894.63 元
折现回现值: 1,000,000.00 元你看，折现回去正好是100万。这说明公式是自洽的。
1.5 知识体系总览
下面这张图，把本章的核心逻辑串起来了。我建议你保存下来，以后忘了随时看。
1.6 实战中的几个坑
代码写完了，图也画了。我再分享几个实战中容易踩的坑。
- 利率单位搞混： 年利率5%是0.05，不是5。我见过有人直接写5，结果算出来离谱的数字。
- 时间单位不一致： 如果利率是年化，时间必须是年。如果是月利率，时间必须是月。我曾经把一个按月付息的产品，直接用年利率×年数算了，结果对不上账。
- 复利频率： 实际中复利可能是按年、按半年、按季度甚至按天。公式要调整为：FV = PV × (1 + r/n)^(n×t)，其中n是每年复利次数。
我的习惯： 在写任何金融计算代码之前，先写一个简单的「合理性检查」。比如，利率应该在0到1之间，时间应该是正数，终值应该大于现值（正利率下）。这些小检查，能帮你省下大量debug时间。
好了，货币时间价值这个地基，咱们算是打牢了。后面的章节，我们会在这个基础上，搭建更复杂的金融模型。
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