年金计算：普通年金、预付年金、永续年金的现值与终值公式，以及Python函数封装

年金，说白了就是一系列等额、定期的现金流。你每个月还房贷、每年交保费、甚至领养老金，本质上都是年金。我个人做量化策略回测时，经常需要把未来一串现金流折现到今天，或者反过来算终值。这块搞不清楚，后面很多定价模型都站不住脚。

今天咱们就把三种最基础的年金——普通年金、预付年金、永续年金——的现值与终值公式彻底拆解一遍，最后我会给出封装好的Python函数，你直接拿去用就行。

一、普通年金：最标准的现金流模式

普通年金，也叫后付年金。它的特点是：现金流发生在每期期末。比如你每个月月底还房贷，这就是普通年金。

我刚开始做债券定价时，经常把普通年金和预付年金搞混。后来养成一个习惯：画时间轴。你想想看，现金流在时间轴上的位置不同，公式就差一个(1+r)的因子。

1. 普通年金现值公式

把未来每一期的现金流都折现到今天，然后加总。公式是：

PV = PMT × [1 - (1 + r)^(-n)] / r

其中：

• PMT：每期支付金额
• r：每期利率
• n：期数

举个例子：你打算每年末存1万块，存5年，年利率5%。那么这笔年金的现值是多少？

PV = 10000 × [1 - (1.05)^(-5)] / 0.05
   = 10000 × 4.3295
   = 43295 元

嗯，43295元。也就是说，你现在一次性拿出43295元，按5%利率投资，效果等同于每年末拿1万、连续拿5年。

2. 普通年金终值公式

终值就是算最后一期结束时，这些钱一共值多少。公式是：

FV = PMT × [(1 + r)^n - 1] / r

还是上面那个例子：

FV = 10000 × [(1.05)^5 - 1] / 0.05
   = 10000 × 5.5256
   = 55256 元

你每年存1万，5年后连本带利一共55256元。这个数字比5万多了5256元，这就是复利的力量。

二、预付年金：现金流提前一期

预付年金，也叫先付年金。它的特点是：现金流发生在每期期初。比如你每年年初交房租，这就是预付年金。

为什么会这样？因为期初付款比期末付款早了一期，所以每一笔钱都多赚了一期利息。说白了，预付年金的现值或终值，就是在普通年金的基础上乘以(1+r)。

1. 预付年金现值公式

PV_due = PMT × [1 - (1 + r)^(-n)] / r × (1 + r)

或者写成：

PV_due = PMT × [1 - (1 + r)^(-n+1)] / r + PMT

我个人更喜欢第一种写法，逻辑清晰：先算普通年金现值，再乘以(1+r)。

2. 预付年金终值公式

FV_due = PMT × [(1 + r)^n - 1] / r × (1 + r)

同样，先算普通年金终值，再乘以(1+r)。

我曾经在做一个租赁定价项目时，客户给的现金流是期初付款，我直接用普通年金公式算，结果差了整整一期利息。嗯，这个坑我踩过，你别再踩了。

三、永续年金：没有终点的现金流

永续年金，就是永远持续下去的年金。现实中典型的例子是优先股股息——只要公司不倒闭，你就一直拿股息。

永续年金只有现值，没有终值。为什么？因为期数n趋向无穷大，终值也趋向无穷大，没有实际意义。

永续年金现值公式

PV_perp = PMT / r

这个公式简单到让人怀疑。但你别小看它，很多资产定价模型都基于这个公式。

举个例子：某优先股每年派息5元，市场利率4%，那么它的理论价格就是：

PV = 5 / 0.04 = 125 元

你想想看，125元存银行按4%利率，每年利息正好5元。所以这个定价是合理的。

四、Python函数封装：拿来即用

理论讲完了，咱们上代码。我习惯把这些公式封装成一个类，方便调用。你直接复制到你的项目里就行。

class Annuity:
    """年金计算工具类"""
    
    @staticmethod
    def pv_ordinary(pmt, r, n):
        """普通年金现值"""
        return pmt * (1 - (1 + r) ** (-n)) / r
    
    @staticmethod
    def fv_ordinary(pmt, r, n):
        """普通年金终值"""
        return pmt * ((1 + r) ** n - 1) / r
    
    @staticmethod
    def pv_due(pmt, r, n):
        """预付年金现值"""
        return Annuity.pv_ordinary(pmt, r, n) * (1 + r)
    
    @staticmethod
    def fv_due(pmt, r, n):
        """预付年金终值"""
        return Annuity.fv_ordinary(pmt, r, n) * (1 + r)
    
    @staticmethod
    def pv_perpetuity(pmt, r):
        """永续年金现值"""
        if r <= 0:
            raise ValueError("利率必须大于0")
        return pmt / r

使用示例：

# 普通年金：每年末存1万，5年，利率5%
pv = Annuity.pv_ordinary(10000, 0.05, 5)
fv = Annuity.fv_ordinary(10000, 0.05, 5)
print(f"普通年金现值: {pv:.2f}")  # 43294.77
print(f"普通年金终值: {fv:.2f}")  # 55256.31

# 预付年金：每年初存1万，5年，利率5%
pv_due = Annuity.pv_due(10000, 0.05, 5)
fv_due = Annuity.fv_due(10000, 0.05, 5)
print(f"预付年金现值: {pv_due:.2f}")  # 45459.50
print(f"预付年金终值: {fv_due:.2f}")  # 58019.13

# 永续年金：每年末拿5元，利率4%
perp = Annuity.pv_perpetuity(5, 0.04)
print(f"永续年金现值: {perp:.2f}")  # 125.00

五、知识体系总览

下面这张图把三种年金的逻辑关系画清楚了。你看一眼就能明白它们之间的区别和联系。

这张图把三种年金的关系讲得很清楚。普通年金是基础，预付年金就是在普通年金基础上乘(1+r)，永续年金则是普通年金在期数无穷大时的极限情况。

我个人建议你把这个图保存下来，每次用年金公式前看一眼，能避免很多低级错误。

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