3、概率分布采样：均匀分布、正态分布、对数正态分布，以及如何用Python生成它们

做蒙特卡洛模拟，说白了就是在跟随机数打交道。

你想想看，我们要模拟市场未来一万种可能的走势，总不能靠拍脑袋吧？得有个靠谱的数学工具来生成这些随机样本。这就是我今天要聊的——概率分布采样。

我个人习惯把概率分布理解成「随机数的模具」。不同的模具，压出来的随机数形状不一样。有的均匀散开，有的中间多两头少，有的永远不碰负数。咱们做压力测试，选对模具比啥都重要。

3.1 均匀分布：最基础的随机数

均匀分布，说白了就是「众生平等」。在某个区间内，每个数值出现的概率一模一样。

比如你掷骰子，1到6点，每个面概率都是1/6。这就是离散版的均匀分布。连续版的呢？比如在0到1之间随便取一个数，每个小数出现的概率都一样。

Python里怎么生成？

我最早学Python时，用的就是 random.uniform。后来做量化了，基本只用NumPy，因为快。

import numpy as np

# 生成10000个[0,1)之间的均匀分布随机数
samples = np.random.uniform(0, 1, 10000)

# 生成[-1, 1]之间的均匀分布
samples2 = np.random.uniform(-1, 1, 5000)

# 查看前5个样本
print(samples[:5])
# 输出类似：[0.3745, 0.9501, 0.7320, 0.5987, 0.1560]

我在项目中遇到过一个坑：均匀分布虽然简单，但用它模拟资产价格走势，基本是错的。因为真实市场里，极端涨跌的概率比均匀分布预测的要高得多。所以均匀分布一般只用来生成初始参数，或者做最简单的敏感性分析。

3.2 正态分布：金融建模的基石

正态分布，也叫高斯分布。它的形状像个钟，中间高两边低。你想想看，人的身高、考试成绩、测量误差，基本都是正态分布。

在金融里，正态分布的地位曾经不可动摇。Black-Scholes期权定价模型，假设的就是资产收益率服从正态分布。

两个关键参数：

• 均值（μ）：决定钟的中心位置。比如年化收益率5%，均值就是0.05。
• 标准差（σ）：决定钟的胖瘦。标准差越大，数据越分散，风险越高。

Python生成正态分布样本：

import numpy as np

# 生成标准正态分布（均值0，标准差1）
standard_normal = np.random.normal(0, 1, 10000)

# 生成自定义正态分布（均值0.05，标准差0.2）
custom_normal = np.random.normal(0.05, 0.2, 10000)

# 查看统计量
print(f"均值: {np.mean(custom_normal):.4f}")
print(f"标准差: {np.std(custom_normal):.4f}")
# 输出类似：均值: 0.0498，标准差: 0.2003

我曾经犯过一个低级错误：直接用正态分布模拟股票价格，结果跑出来一堆负数。股票价格怎么可能为负？后来才意识到，正态分布是对数收益率（log return）的假设，不是价格本身的假设。这个坑，很多新手都会踩。

3.3 对数正态分布：资产价格的天然模型

对数正态分布，名字听着唬人，其实逻辑很简单：如果一个变量的对数服从正态分布，那这个变量本身就服从对数正态分布。

为什么它适合模拟资产价格？

• 价格永远大于0（对数正态分布只取正值）
• 价格涨跌不对称（跌到0有下限，涨可以无限）
• 符合实际市场的偏态特征

Python生成对数正态分布：

import numpy as np

# 方法1：先取对数，再指数化
mu, sigma = 0.05, 0.2  # 对数收益率参数
log_returns = np.random.normal(mu, sigma, 10000)
prices = np.exp(log_returns)  # 假设初始价格为1

# 方法2：直接用lognormal函数
# 注意：np.random.lognormal的mean和sigma是对数空间的参数
prices_direct = np.random.lognormal(mu, sigma, 10000)

# 查看价格范围
print(f"价格最小值: {np.min(prices):.4f}")
print(f"价格最大值: {np.max(prices):.4f}")
print(f"价格中位数: {np.median(prices):.4f}")
# 输出类似：最小值: 0.6183，最大值: 2.1457，中位数: 1.0512

我个人习惯用方法1，因为逻辑更清晰。先模拟对数收益率（正态分布），再累乘得到价格路径。这样每一步都能检查中间结果，调试起来方便。

3.4 三种分布的对比与选择

为了让你看得更清楚，我整理了一张对比表：

特性	均匀分布	正态分布	对数正态分布
取值范围	[a, b] 区间内	(-∞, +∞)	(0, +∞)
形状	平顶	钟形对称	右偏（长尾在右边）
适用场景	参数采样、敏感性分析	收益率、误差项	资产价格、交易量
极端事件概率	低	较低	较高（右尾）
Python生成函数	np.random.uniform	np.random.normal	np.random.lognormal

嗯，这里要注意：没有哪个分布是万能的。我见过有人硬要用正态分布模拟期权价格，结果Delta对冲怎么都对不上。后来换成对数正态，问题迎刃而解。

3.5 知识体系总览

下面这张图，是我自己梳理的三种分布的核心逻辑。你看一眼，就能明白它们之间的关系：

你看这张图，从左到右，分布的复杂度在增加。均匀分布最简单，对数正态分布最贴近真实市场。做压力测试时，我一般先用均匀分布做快速扫描，再用对数正态分布做精细模拟。

好了，关于概率分布采样，今天就聊到这儿。这三种分布，你可以在代码里多跑几遍，看看生成的随机数长什么样。亲手试试，比看十遍文章都管用。

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