Monte Carlo模拟基础：随机数生成、概率分布、大数定律、中心极限定理

Monte Carlo模拟，说白了就是用随机数去解决那些确定性方法搞不定的问题。我刚开始接触量化金融时，觉得这玩意儿挺玄乎——扔骰子也能做投资组合优化？后来真上手了才发现，这恰恰是处理市场不确定性的利器。

这一章我们先把地基打牢。随机数怎么生成？概率分布怎么选？大数定律和中心极限定理又是什么鬼？搞懂这些，后面的模拟才不会跑偏。

1. 随机数生成：伪随机也够用

真正的随机数很难搞，比如用物理噪声源。但在量化金融里，我们用的是伪随机数——算法生成的、看起来随机的序列。我个人习惯用NumPy的random模块，又快又稳。

import numpy as np

# 生成均匀分布随机数
np.random.seed(42)  # 固定种子，保证可复现
uniform_samples = np.random.uniform(0, 1, 1000)

# 生成标准正态分布随机数
normal_samples = np.random.normal(0, 1, 1000)

# 生成对数正态分布（常用于股价模拟）
lognormal_samples = np.random.lognormal(0, 0.2, 1000)

2. 概率分布：选对模型很重要

Monte Carlo模拟的核心，就是假设资产收益服从某种概率分布，然后反复抽样。你想想看，如果分布选错了，再多的模拟也是白搭。

量化金融里最常见的几种分布：

分布类型	适用场景	参数说明
正态分布	短期收益率、风险因子	均值μ，标准差σ
对数正态分布	股票价格、资产价格	μ为漂移率，σ为波动率
均匀分布	参数敏感性分析	最小值a，最大值b
t分布	厚尾风险建模	自由度ν（越小尾部越厚）

3. 大数定律：模拟次数越多越准

大数定律说：样本均值会随着样本量增加而趋近于总体均值。说白了，你扔硬币的次数越多，正面比例就越接近50%。

在Monte Carlo模拟里，这意味着：

• 模拟100次，结果可能偏差很大
• 模拟10,000次，结果就比较稳定了
• 模拟1,000,000次，嗯...基本就是精确值了

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟抛硬币：正面=1，反面=0
np.random.seed(42)
n_trials = 10000
results = np.random.binomial(1, 0.5, n_trials)
cumulative_mean = np.cumsum(results) / np.arange(1, n_trials + 1)

# 看看收敛过程
print(f"前100次均值: {cumulative_mean[99]:.4f}")
print(f"前1000次均值: {cumulative_mean[999]:.4f}")
print(f"全部10000次均值: {cumulative_mean[-1]:.4f}")

4. 中心极限定理：为什么正态分布无处不在

中心极限定理说：大量独立同分布随机变量的均值，近似服从正态分布。不管原始分布长什么样，只要样本量够大，均值就变成正态了。

为什么会这样？嗯，你可以理解为“平均的力量”——极端值互相抵消，最终呈现出钟形曲线。

这对Monte Carlo模拟意味着：

• 我们可以用正态分布来近似模拟结果的分布
• 计算置信区间变得简单：均值 ± 1.96 × 标准差
• 但要注意：如果原始分布方差无穷大（比如柯西分布），中心极限定理就不适用了

5. 知识体系总览

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。你一看就明白：随机数生成是原料，概率分布是配方，大数定律和中心极限定理是质量保证。

6. 实战小练习：验证大数定律

光说不练假把式。我们来写个简单代码，看看大数定律是怎么起作用的。

import numpy as np

# 模拟掷骰子：期望值是3.5
np.random.seed(42)

def simulate_dice(n_rolls):
    rolls = np.random.randint(1, 7, n_rolls)
    return np.mean(rolls)

# 不同样本量的结果
for n in [10, 100, 1000, 10000, 100000]:
    mean = simulate_dice(n)
    print(f"掷{n:6d}次，均值={mean:.4f}，误差={abs(mean-3.5):.4f}")

输出结果会让你直观感受到：样本量越大，均值越接近3.5。这就是大数定律在说话。

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