第三章 资产收益率与风险：对数收益率计算、协方差矩阵、年化波动率

好，咱们进入第三章。说实话，这一章是整门课里最「数学」的部分，但也是最有用的部分。你想想看，做投资组合优化，核心就两件事：收益和风险。收益怎么算？风险怎么量化？这章就是解决这两个问题的。

我个人习惯，拿到一组价格数据后，第一件事就是算对数收益率。为什么？因为对数收益率在时间上可加，而且更符合正态分布的假设。嗯，这里要注意，普通收益率（简单收益率）在计算多期收益时会有偏差，而对数收益率没有这个问题。

3.1 对数收益率计算

对数收益率的公式很简单：

r_t = ln(P_t / P_{t-1})

其中 P_t 是 t 时刻的价格，P_{t-1} 是 t-1 时刻的价格。

用 Python 实现起来也就几行代码：

import numpy as np
import pandas as pd

# 假设 prices 是一个包含收盘价的 DataFrame
# 列名是股票代码，行是日期
prices = pd.read_csv('stock_prices.csv', index_col=0, parse_dates=True)

# 计算对数收益率
log_returns = np.log(prices / prices.shift(1))

# 去掉第一行的 NaN
log_returns = log_returns.dropna()

print(log_returns.head())

我在项目中遇到过一个问题：数据里偶尔会有价格为 0 的情况。你想想看，ln(0) 是什么？负无穷！所以一定要先做数据清洗。我曾经因为没检查这个，结果协方差矩阵里全是 NaN，折腾了半天才发现是数据源的问题。

3.2 协方差矩阵

协方差矩阵是投资组合优化的核心。它衡量的是不同资产之间的联动关系。说白了，就是 A 涨的时候，B 是跟着涨还是跌？涨跌幅度有多大？

数学上，协方差矩阵的定义是：

Σ = E[(R - μ)(R - μ)^T]

其中 R 是收益率向量，μ 是期望收益率向量。

在 Python 里，计算协方差矩阵超级简单：

# 计算协方差矩阵
cov_matrix = log_returns.cov()

# 查看前几行
print(cov_matrix.head())

这里有个细节：cov() 默认是样本协方差，分母是 n-1。如果你想要总体协方差，可以用 cov(ddof=0)。我个人习惯用样本协方差，因为金融数据通常只是历史样本，不是全量数据。

3.3 年化波动率

波动率是风险的核心指标。日波动率怎么年化？很简单，乘以 sqrt(252)。为什么是 252？因为一年大约有 252 个交易日。

公式：

σ_annual = σ_daily * sqrt(252)

代码实现：

# 计算日波动率（标准差）
daily_vol = log_returns.std()

# 年化波动率
annual_vol = daily_vol * np.sqrt(252)

# 输出结果
print("年化波动率：")
print(annual_vol)

嗯，这里要注意：年化波动率假设收益率是独立同分布的。实际上，金融数据有波动率聚集效应——大涨之后往往跟着大跌。所以年化波动率只是一个近似值，别把它当真理。

3.4 知识体系总览

为了让你更直观地理解这一章的知识结构，我画了一张图：

3.5 实战：完整流程

最后，我把整个流程串起来，给你一个完整的代码示例：

import numpy as np
import pandas as pd

# 1. 加载数据
prices = pd.read_csv('portfolio_prices.csv', index_col=0, parse_dates=True)

# 2. 数据清洗：检查是否有0或负值
if (prices <= 0).any().any():
    print("警告：发现非正价格，正在处理...")
    prices[prices <= 0] = np.nan
    prices = prices.fillna(method='ffill')

# 3. 计算对数收益率
log_returns = np.log(prices / prices.shift(1)).dropna()

# 4. 计算协方差矩阵（年化）
cov_matrix_annual = log_returns.cov() * 252

# 5. 计算年化波动率
annual_vol = np.sqrt(np.diag(cov_matrix_annual))

# 6. 输出结果
print("="*50)
print("资产年化波动率：")
for i, vol in enumerate(annual_vol):
    print(f"{prices.columns[i]}: {vol:.4f} ({vol*100:.2f}%)")
print("="*50)
print("\n年化协方差矩阵：")
print(cov_matrix_annual.round(6))

好了，这一章的内容就这些。记住：对数收益率是基础，协方差矩阵是核心，年化波动率是输出。这三者构成了投资组合优化的数据基石。下一章我们会用这些数据来做真正的优化——找到那条漂亮的有效前沿。