第四章 久期与凸性：债券定价的“双引擎”
久期和凸性，这两个词听起来挺唬人。说白了，它们就是债券价格对利率变化的“敏感度指标”。
我刚开始做债券量化时，觉得只要算清楚收益率就完事了。直到有一次，我持仓的一只信用债，市场利率只上行了10个基点，我的组合净值却跌了将近2%。嗯，从那以后，我才真正重视起久期这个工具。
4.1 麦考利久期：加权平均的“回本时间”
麦考利久期（Macaulay Duration）是最基础的概念。它衡量的是：你收回债券全部现金流（本金+利息）所需的平均时间。
公式长这样：
麦考利久期 = Σ [ (t × CFt) / (1 + y)^t ] / 当前债券价格其中：
- t = 第t期（通常以年为单位）
- CFt = 第t期的现金流（利息或本金）
- y = 到期收益率（YTM）
举个例子。一张面值100元、票息5%、期限3年的债券，每年付息一次。假设当前YTM也是5%。
| 年份 (t) | 现金流 (CFt) | 折现因子 1/(1+5%)^t | 现值 | t × 现值 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 0.9524 | 4.762 | 4.762 |
| 2 | 5 | 0.9070 | 4.535 | 9.070 |
| 3 | 105 | 0.8638 | 90.699 | 272.097 |
| 合计 | 100.00 | 285.93 | ||
麦考利久期 = 285.93 / 100.00 = 2.86年。
这意味着，你大概需要2.86年才能收回全部投资成本。注意，这是加权平均时间，不是实际到期日。
4.2 修正久期：利率变动1%，价格变多少？
修正久期（Modified Duration）才是我们真正用来算价格变化的工具。它和麦考利久期的关系很简单：
修正久期 = 麦考利久期 / (1 + y)继续上面的例子：修正久期 = 2.86 / (1 + 0.05) = 2.72。
这个数字的含义是：当市场利率变动1%（100个基点），债券价格大约反向变动2.72%。
为什么会反向？因为利率涨，债券价格跌。这是债券定价的铁律。
比如利率上升0.5%（50个基点），价格大约下跌：-2.72 × 0.005 = -1.36%。
我曾经用这个公式快速估算过一笔交易。当时有个客户问我，如果美联储加息25个基点，他手里的10年期国债大概会亏多少。我口算了一下，告诉他大概亏2.2%。结果第二天市场验证，误差不到0.1%。
4.3 美元久期：直接算“亏多少钱”
修正久期给的是百分比变化。但做量化策略时，我们更关心的是：到底亏了多少真金白银？
美元久期（Dollar Duration）就是干这个的：
美元久期 = 修正久期 × 债券全价假设上面那只债券的全价是100元，那么美元久期 = 2.72 × 100 = 272元。
这意味着，利率每变动1%（100个基点），这只债券的价格大约变动272元（每100元面值）。
在组合管理中，我习惯把每只债券的美元久期加起来，得到组合的总美元久期。这样就能快速算出，利率变动对整个组合的冲击有多大。
4.4 凸性：久期不准确时的“修正项”
久期有一个假设：价格和利率是线性关系。但现实是，它们的关系是弯曲的（凸的）。
当利率变动较大时（比如超过1%），只用久期算出来的价格误差会很大。这时候就需要凸性（Convexity）来修正。
凸性的公式稍微复杂一点：
凸性 = [ Σ (t × (t+1) × CFt) / (1 + y)^(t+2) ] / 当前债券价格还是用上面的例子，算出来凸性大约是 8.93。
加上凸性修正后的价格变动公式：
价格变动 ≈ - 修正久期 × Δy + 0.5 × 凸性 × (Δy)^2假设利率上升2%（200个基点）：
- 只用久期：-2.72 × 0.02 = -5.44%
- 加上凸性：-5.44% + 0.5 × 8.93 × (0.02)^2 = -5.44% + 0.18% = -5.26%
你看，凸性让价格下跌幅度变小了。这就是“凸性对投资者有利”的原因——它相当于给债券价格加了一层缓冲垫。
4.5 久期在风险管理中的应用
久期在实战中主要有三个用途：
- 利率风险度量： 组合的久期越大，对利率越敏感。如果你判断利率要涨，就降低久期（比如卖长债、买短债）。
- 免疫策略： 让组合的久期等于你的投资期限。这样无论利率怎么变，到期时你的资产价值基本不变。我做过一个养老金账户的久期匹配，把组合久期调到和负债久期一致，效果很稳。
- 对冲： 用国债期货对冲信用债的利率风险。核心就是让期货的美元久期和现货的美元久期匹配。
举个例子，你持有1000万面值的信用债，美元久期是272。你想用10年期国债期货对冲，假设期货的美元久期是800（每手）。
对冲手数 = (1000万 × 272) / (800 × 10万) ≈ 3.4手这里要注意，期货是按手交易的，所以实际中你可能需要取整到3手或4手。剩下的敞口，就是你的“基差风险”。
这张图把本章的核心知识点串起来了。从麦考利久期出发，衍生出修正久期和美元久期，再加上凸性做精度修正，最后落到风险管理实战。你写策略时，可以把它当成一个检查清单。
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