4. 协整理论深入：协整定义、Engle-Granger检验、Johansen检验、协整向量估计
各位同学，欢迎来到第四章。这一章我们聊协整，说白了就是“两个不靠谱的玩意儿，怎么凑在一起就靠谱了”。
我在做外汇统计套利的时候，最头疼的就是价格乱跑。你单看EUR/USD，它像个醉汉。单看GBP/USD，也像个醉汉。但如果你把这两个醉汉绑在一起，嘿，他们走路居然有规律了。这就是协整的魅力。
4.1 协整的定义——别被名字吓到
协整（Cointegration）这个概念，是Engle和Granger在1987年提出来的。我当年读这篇论文的时候，第一反应是：这不就是“线性组合后变平稳”吗？
对，就是这么回事。
严格来说，如果两个或多个非平稳时间序列，它们的某个线性组合是平稳的，那我们就说这些序列之间存在协整关系。
核心要点：
- 每个序列单独看：非平稳（比如随机游走）
- 组合起来看：平稳（均值回归）
- 经济含义：它们之间存在长期均衡关系
举个例子。我做过EUR/GBP和EUR/USD的配对。单独看，两个都是随机游走。但如果你用EUR/GBP减去某个倍数的EUR/USD，得到的新序列居然是平稳的。这说明什么？说明这两个货币对背后有共同的驱动因素。
你想想看，如果两个资产价格长期“绑在一起”，那短期偏离就是套利机会。这就是统计套利的底层逻辑。
我的经验： 别一上来就做协整检验。先画图，肉眼看看两个序列是不是“走在一起”。如果它们长期分分合合，那大概率有戏。
4.2 Engle-Granger检验——两步法，简单粗暴
Engle-Granger检验，简称EG检验。我个人习惯叫它“两步法”。为什么？因为它就两步。
第一步：估计协整回归
假设你有两个序列 \( y_t \) 和 \( x_t \)。你先跑一个OLS回归：
y_t = α + β * x_t + ε_t这里得到的残差 \( \varepsilon_t \)，就是我们要盯住的东西。
第二步：检验残差的平稳性
对残差 \( \varepsilon_t \) 做ADF检验。如果残差是平稳的，那 \( y_t \) 和 \( x_t \) 就协整。
嗯，这里要注意。EG检验的临界值不能用标准的ADF临界值。因为残差是从回归中估计出来的，不是原始数据。你得用MacKinnon（1991）提供的专用临界值表。
避坑指南： 我曾经在项目里直接用ADF的临界值去判断EG检验的结果，结果发现协整关系“显著”得离谱。后来查资料才发现，EG检验的临界值更严格。说白了，就是门槛更高。
EG检验的优点是简单。缺点也很明显：
- 只能处理两个序列
- 对变量的顺序敏感（谁做因变量，谁做自变量，结果可能不同）
- 只能找到一个协整关系
所以，如果你只有两个货币对，EG检验够用了。但如果你有多个货币对，那就得上Johansen检验。
4.3 Johansen检验——多变量协整的利器
Johansen检验是Søren Johansen在1988年提出的。它基于向量自回归模型（VAR），可以同时检验多个序列之间是否存在多个协整关系。
我刚开始用Johansen检验的时候，觉得它像个黑盒子。后来理解了它的核心思想，其实不复杂。
核心思想：
Johansen检验通过检验矩阵的秩（rank）来判断协整关系的个数。秩为0，说明没有协整关系。秩为1，说明有一个协整关系。秩为2，说明有两个，以此类推。
具体来说，Johansen检验提供了两种统计量：
| 统计量 | 用途 | 原假设 |
|---|---|---|
| 迹统计量（Trace Statistic） | 检验协整关系的个数是否 ≤ r | 最多有 r 个协整关系 |
| 最大特征值统计量（Max Eigenvalue Statistic） | 检验协整关系的个数是否恰好为 r | 有 r 个协整关系 vs 有 r+1 个 |
在实际应用中，我一般两个统计量都看。如果它们结论一致，那基本稳了。如果不一致，我会更相信迹统计量，因为它对样本量更稳健。
我的建议： 做Johansen检验之前，先确定VAR的滞后阶数。用AIC或BIC准则选。别用太大的滞后阶数，否则自由度损失严重。我一般用AIC选，然后手动检查一下残差是否白噪声。
4.4 协整向量估计——找到那条“黄金比例”
协整向量，说白了就是那个线性组合的系数。比如 \( y_t - \beta x_t \) 是平稳的，那 \( (1, -\beta) \) 就是协整向量。
在EG检验中，协整向量就是第一步OLS回归的系数。简单直接。
在Johansen检验中，协整向量是通过求解特征值问题得到的。每个特征值对应一个协整向量。特征值越大，说明这个协整关系越强。
我举个例子。假设你有三个货币对：EUR/USD、GBP/USD、USD/JPY。Johansen检验可能告诉你存在两个协整向量。第一个协整向量可能是：
EUR/USD - 0.8 * GBP/USD + 0.3 * USD/JPY = 平稳第二个协整向量可能是：
GBP/USD - 0.5 * USD/JPY = 平稳这两个向量代表了不同的长期均衡关系。你可以选择其中一个来做统计套利，也可以组合使用。
关键点： 协整向量不是唯一的。你可以对协整向量做线性变换，得到新的协整向量。所以，在实际应用中，我们通常会对协整向量做标准化处理，比如让第一个变量的系数为1。
我在项目中遇到过一个问题：协整向量的估计对样本期很敏感。你用过去1年的数据估计的协整向量，和用过去3年的数据估计的，可能完全不同。怎么办？我的做法是滚动估计。每3个月重新估计一次协整向量，确保它跟得上市场的变化。
4.5 本章知识体系图
下面这张图，是我自己画的。它把协整理论的脉络理清楚了。你一看就明白。
这张图把协整理论的三个核心部分串起来了。从定义出发，到两种检验方法，再到最后的协整向量估计。你顺着箭头看，逻辑很清楚。
好了，这一章的内容就到这里。协整理论是统计套利的基石。你把它吃透了，后面的策略设计就水到渠成。
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