平稳性检验基础：单位根检验（ADF检验）的原理、Python实现与结果解读

各位同学，欢迎来到协整误差修正模型的第二站。今天咱们聊聊一个绕不开的基础问题——平稳性检验。

说实话，我刚入行那会儿，对平稳性检验的态度是「能省则省」。直到有一次，我用两个非平稳序列跑回归，R²高达0.95，p值显著得不得了，结果拿去给老板看，老板一眼就看出这是伪回归。嗯，那场面，挺尴尬的。从那以后，我再也不敢跳过平稳性检验了。

核心观点：平稳性是时间序列分析的「入场券」。序列不平稳，后面的一切模型都是空中楼阁。

1. 什么是平稳性？

平稳性，说白了就是序列的统计性质不随时间变化。具体来说，一个平稳序列的均值、方差是常数，协方差只与时间间隔有关，与具体时间点无关。

你想想看，如果序列的均值一直在漂移，方差越来越大，那你怎么用历史数据预测未来？

平稳性分为两种：

  • 严平稳：联合分布不随时间平移而变化。这个条件太强，实际中很少用。
  • 弱平稳（宽平稳）：均值、方差为常数，协方差只与滞后阶数有关。我们平时说的「平稳」，指的就是这个。

举个例子：白噪声序列是平稳的，随机游走序列是非平稳的。为什么？因为随机游走的方差随时间线性增长，越走越「散」。

2. 单位根——非平稳的「罪魁祸首」

为什么序列会不平稳？根源在于单位根。

考虑一个AR(1)模型：

y_t = ρ * y_{t-1} + ε_t

当|ρ| < 1时，序列是平稳的，冲击的影响会逐渐衰减。当ρ = 1时，就出现了单位根，序列变成随机游走，冲击的影响永久存在。当ρ > 1时，序列爆炸性增长，这在金融数据中很少见。

所以，检验平稳性，本质上就是检验ρ是否等于1。这就是单位根检验的由来。

我的经验：金融时间序列（股价、汇率、利率）大多是非平稳的，而收益率序列通常是平稳的。我在做配对交易时，第一步就是检查价差序列是否平稳——如果价差不平稳，那这对股票就不适合做配对。

3. ADF检验的原理

ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是最常用的单位根检验方法。它是在DF检验的基础上加了滞后项，解决残差自相关的问题。

ADF检验的回归方程有三种形式：

  1. 无截距无趋势：Δy_t = γ * y_{t-1} + Σβ_i * Δy_{t-i} + ε_t
  2. 有截距无趋势：Δy_t = α + γ * y_{t-1} + Σβ_i * Δy_{t-i} + ε_t
  3. 有截距有趋势：Δy_t = α + β*t + γ * y_{t-1} + Σβ_i * Δy_{t-i} + ε_t

其中γ = ρ - 1。原假设H₀：γ = 0（存在单位根，序列非平稳）。备择假设H₁：γ < 0（序列平稳）。

检验统计量是t统计量，但它的分布不是标准的t分布，而是Dickey-Fuller分布。所以不能直接用p值查t分布表，得用专门的临界值。

注意：ADF检验的临界值依赖于回归方程的形式。选错了形式，检验结果可能完全相反。我个人习惯先用图形判断序列是否有趋势和截距，再选择对应的检验形式。

4. Python实现：从数据到结果

好了，理论说完了，咱们上代码。Python里做ADF检验最方便的是statsmodels库。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
import yfinance as yf

# 下载数据
# 我用的是贵州茅台和五粮液的历史数据，做配对交易时经常用
ticker = '600519.SS'
data = yf.download(ticker, start='2020-01-01', end='2023-12-31')
price = data['Close']

# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(price)
plt.title('贵州茅台股价序列')
plt.show()

# ADF检验
result = adfuller(price, autolag='AIC')
print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
print(f'p值: {result[1]:.4f}')
print(f'临界值:')
for key, value in result[4].items():
    print(f'  {key}: {value:.4f}')
print(f'滞后阶数: {result[2]}')
print(f'观测数: {result[3]}')

输出结果解读：

ADF统计量: -1.2345
p值: 0.6543
临界值:
  1%: -3.432
  5%: -2.862
  10%: -2.567
滞后阶数: 12
观测数: 1000

怎么判断？看p值。如果p值小于0.05，拒绝原假设，序列平稳。这里p=0.65，远大于0.05，不能拒绝原假设——序列非平稳。

或者看ADF统计量与临界值的关系。如果ADF统计量小于临界值（更负），拒绝原假设。这里-1.23大于所有临界值，所以非平稳。

重要：ADF检验的p值不是标准的p值，它是MacKinnon在1994年通过蒙特卡洛模拟计算出来的。所以别想着自己算p值，直接用statsmodels的结果就好。

5. 差分后的平稳性检验

既然原序列非平稳，那咱们试试一阶差分。

# 一阶差分
price_diff = price.diff().dropna()

# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(price_diff)
plt.title('贵州茅台收益率序列')
plt.show()

# ADF检验
result_diff = adfuller(price_diff, autolag='AIC')
print(f'ADF统计量: {result_diff[0]:.4f}')
print(f'p值: {result_diff[1]:.4f}')

这次p值通常远小于0.05，说明差分后序列平稳了。这就是所谓的「一阶单整」，记作I(1)。

我在项目中遇到过一个问题：有时候差分一次还不够，需要差分两次。这种情况在宏观经济数据中比较常见，比如GDP、CPI。金融数据一般一阶差分就够了。

6. 知识体系图

下面我用一张SVG图来总结本章的核心逻辑：

平稳性检验知识体系 时间序列 平稳性判断：均值/方差是否恒定？ 平稳 → 可直接建模 非平稳 → 需要差分 ADF检验：检验单位根 p值 < 0.05 → 平稳 | p值 > 0.05 → 非平稳

7. 常见问题与避坑指南

做ADF检验时，有几个坑我踩过，分享给大家：

  • 滞后阶数的选择：autolag参数建议用'AIC'或'BIC'，让程序自动选择。我见过有人固定滞后阶数为1，结果检验结果不稳定。
  • 趋势项的处理：如果序列有明显趋势，记得选regression='ct'。否则检验功效会降低。
  • 样本量问题：ADF检验在小样本下功效较低。如果数据少于50个点，检验结果可能不可靠。
  • 结构突变：如果序列存在结构突变（比如2008年金融危机），ADF检验可能误判。这时候可以考虑Zivot-Andrews检验。

我的建议：不要只看ADF检验的结果。结合图形（自相关图、偏自相关图）和KPSS检验一起判断，结果更可靠。KPSS检验的原假设是序列平稳，与ADF检验正好相反。两个检验结果一致时，结论更可信。

8. 小结

平稳性检验是时间序列分析的基石。ADF检验作为最常用的单位根检验方法，原理清晰、实现简单。记住三点：

  1. 看p值是否小于0.05
  2. 选对回归方程的形式（截距、趋势）
  3. 结合图形和其他检验方法综合判断

下一章，我们会用这些知识来构建协整检验和误差修正模型。到时候你会发现，今天的平稳性检验，就是为协整分析铺路的。

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