第4章多资产协整

4. 多资产协整：如何从多个资产中寻找协整关系

协整这个概念，说白了就是回答一个问题：几个看起来随机游走的资产，它们之间有没有一条看不见的绳子牵着？

我在做多资产策略的时候，经常遇到这种情况：单看两只股票，价格走势都跟醉汉走路似的，但把它们放在一起，嘿，居然发现它们之间保持着某种长期平衡。这就是协整的核心思想。

4.1 从两资产到多资产：维度升级

两资产协整我们之前聊过，就是找一对资产，让它们的线性组合变成平稳序列。多资产协整呢？其实是一个道理，只是从「配对」变成了「组合」。

数学上，如果有一组时间序列 y₁, y₂, ..., yₖ，每个都是 I(1)（一阶单整），那么存在一个向量 β，使得：

β₁y₁ + β₂y₂ + ... + βₖyₖ ~ I(0)

这个 β 就是协整向量。说白了，就是给每个资产分配一个权重，让它们的加权和变成平稳的。

核心要点：多资产协整不是简单的两两配对，而是寻找一个线性组合，使得组合后的序列均值回归。

4.2 协整的检验方法

我个人习惯用两种方法：Johansen 检验和Engle-Granger 两步法。前者适合多资产，后者适合两资产。

4.2.1 Johansen 检验

Johansen 检验是我在项目中用得最多的方法。它基于向量自回归模型（VAR），通过特征值来判断协整关系的个数。

具体步骤是这样的：

先对每个资产做 ADF 检验，确认都是 I(1)
建立 VAR 模型，确定滞后阶数
计算迹统计量或最大特征值统计量
与临界值比较，判断协整秩

我曾经在做一个商品期货组合时，用 Johansen 检验发现了 3 个协整关系。当时我选了秩为 2 的模型，结果回测效果出奇的好。嗯，这里要注意：协整秩的选择不是越大越好，要根据经济意义和回测结果综合判断。

4.2.2 代码实现

下面我用 Python 的 statsmodels 库演示一下 Johansen 检验：

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen

# 假设我们有 4 个资产的价格数据
# data 是一个 DataFrame，列名为 asset1, asset2, asset3, asset4
def johansen_test(data, det_order=0, k_ar_diff=1):
    """
    执行 Johansen 协整检验
    
    参数:
    - data: 价格数据，每列一个资产
    - det_order: 确定性趋势项，0=无，1=常数，2=趋势
    - k_ar_diff: 差分后的滞后阶数
    
    返回:
    - 迹统计量和临界值
    """
    result = coint_johansen(data, det_order, k_ar_diff)
    
    # 输出迹统计量
    print("=== 迹统计量 ===")
    for i in range(len(result.lr1)):
        print(f"秩 r <= {i}: 统计量 = {result.lr1[i]:.4f}, "
              f"95% 临界值 = {result.cvt[i, 1]:.4f}")
    
    # 输出最大特征值统计量
    print("\n=== 最大特征值统计量 ===")
    for i in range(len(result.lr2)):
        print(f"秩 r <= {i}: 统计量 = {result.lr2[i]:.4f}, "
              f"95% 临界值 = {result.cvm[i, 1]:.4f}")
    
    return result

# 示例数据（实际使用时替换为真实数据）
np.random.seed(42)
dates = pd.date_range('2020-01-01', periods=500, freq='D')
data = pd.DataFrame({
    'asset1': np.cumsum(np.random.randn(500)) + 100,
    'asset2': np.cumsum(np.random.randn(500)) + 50,
    'asset3': np.cumsum(np.random.randn(500)) + 200,
    'asset4': np.cumsum(np.random.randn(500)) + 150
}, index=dates)

# 执行检验
result = johansen_test(data, det_order=0, k_ar_diff=1)

小技巧：在实际项目中，我通常会把 det_order 设为 1（包含常数项），因为大多数金融时间序列都有漂移项。如果你不确定，可以跑三个模型对比一下。

4.3 协整向量的估计

找到协整关系后，下一步就是估计协整向量。Johansen 检验会直接给出特征向量，这些特征向量就是协整向量的估计。

我们来看一下如何提取协整向量：

# 提取协整向量（假设秩为 2）
def get_coint_vectors(result, rank=2):
    """
    提取协整向量
    
    参数:
    - result: coint_johansen 的结果对象
    - rank: 协整秩
    
    返回:
    - 协整向量矩阵，每列一个协整向量
    """
    # 特征向量存储在 result.evec 中
    # 前 rank 列就是协整向量
    coint_vectors = result.evec[:, :rank]
    
    # 通常我们会归一化，让第一个资产系数为 1
    for i in range(rank):
        coint_vectors[:, i] = coint_vectors[:, i] / coint_vectors[0, i]
    
    return coint_vectors

coint_vecs = get_coint_vectors(result, rank=2)
print("协整向量（归一化后）：")
print(coint_vecs)

注意：协整向量不是唯一的！任何线性变换后的向量仍然是协整向量。所以我们在实际应用中，通常会选择经济意义最合理的那个。我曾经见过有人直接拿第一个特征向量就用，结果回测一塌糊涂——因为那个向量对应的组合方差太大。

4.4 多资产协整组合的构建

有了协整向量，我们就可以构建交易组合了。核心思路是：用协整向量作为权重，构建一个均值回归的价差序列。

具体步骤：

选择协整秩 r，提取对应的 r 个协整向量
对每个协整向量，计算价差序列：spread = Σ βᵢ * priceᵢ
对价差序列做标准化，设置开仓阈值（比如 ±1.5 倍标准差）
当价差偏离阈值时开仓，回归均值时平仓

我建议你用一个协整向量就够了。为什么？因为多个协整向量之间可能存在相关性，组合起来反而增加复杂度。我在一个 6 资产组合中试过用 3 个协整向量，结果管理起来特别麻烦，最后还不如只用 1 个效果好。

4.5 实战中的坑与避坑指南

做多资产协整，有几个坑我踩过，分享给你：

伪回归风险：我曾经用 10 个完全不相关的随机游走序列做 Johansen 检验，结果居然发现了一个「显著」的协整关系。这就是典型的伪回归。所以一定要做稳健性检验，比如滚动窗口检验。
滞后阶数选择：滞后阶数太大会损失自由度，太小又无法捕捉动态关系。我一般用 AIC 或 BIC 准则，但最终会结合经济直觉判断。
协整关系的不稳定性：协整关系不是一成不变的。市场结构变了，协整关系可能就断了。我建议每 3-6 个月重新估计一次协整向量。

避坑指南：我曾经在 2020 年 3 月（疫情爆发期）用历史数据训练的协整模型做交易，结果价差直接崩了。后来我加入了滚动窗口和结构断点检测，才解决了这个问题。记住：协整是样本内的统计关系，不代表未来一定成立。

4.6 知识体系图

下面我用一张 SVG 图来总结本章的核心逻辑：

4.7 小结

多资产协整的核心，就是找到一组权重，让组合后的序列变得平稳。Johansen 检验是主力工具，但要注意：统计显著不等于经济有效。我建议你在实际应用中，多结合基本面分析，别只看统计结果。

嗯，这一章就到这里。记住：协整是工具，不是目的。我们的目的是找到稳定可交易的价差关系。

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4. 多资产协整：如何从多个资产中寻找协整关系

4.1 从两资产到多资产：维度升级

4.2 协整的检验方法

4.2.1 Johansen 检验

4.2.2 代码实现

4.3 协整向量的估计

4.4 多资产协整组合的构建

4.5 实战中的坑与避坑指南

4.6 知识体系图

4.7 小结