2. 轮动策略的数学基础：收益率计算

各位同学好，我是老张。今天咱们来聊聊轮动策略背后的数学工具。说实话，很多人一听到「数学」两个字就头疼，觉得量化投资就是搞一堆看不懂的公式。其实不然，你想想看，这些数学工具说白了就是帮我们把市场语言翻译成计算机能理解的逻辑。

我个人习惯把数学基础分成四个模块：收益率怎么算、资产间的关系怎么衡量、动量反转怎么定义、以及最终怎么评价策略好坏。咱们一个一个来。

2.1 简单收益率 vs 对数收益率

先聊最基础的——收益率。你可能觉得这有什么好讲的？不就是（卖出价-买入价）/买入价吗？嗯，对，也不全对。

简单收益率，就是我们日常说的涨跌幅。公式很简单：

R_simple = (P_t - P_{t-1}) / P_{t-1}

比如昨天收盘10块，今天收盘11块，简单收益率就是10%。这个指标直观，但有个问题——它不具备时间可加性。什么意思？你今天涨10%，明天跌10%，你以为回到原点？不，实际上是亏了1%。

对数收益率就不一样了：

R_log = ln(P_t / P_{t-1})

对数收益率最大的好处是时间可加。你今天涨10%再跌10%，对数收益率加起来正好是0。我在项目中遇到过很多次，做回测时如果用简单收益率累乘，时间一长误差会累积得很明显。所以我个人习惯，做策略研究时一律用对数收益率，只有给客户展示时才转成简单收益率——毕竟客户只看「我赚了多少百分比」。

对比维度	简单收益率	对数收益率
直观性	⭐⭐⭐⭐⭐	⭐⭐
时间可加性	❌	✅
正态分布假设	不适用	更接近正态
多期累乘	误差累积	直接相加

2.2 协方差矩阵与相关性

好，收益率算完了，接下来要问：两个资产之间是什么关系？

协方差衡量的是两个变量一起变动的方向和幅度。公式长这样：

Cov(X,Y) = E[(X - μ_x)(Y - μ_y)]

但协方差有个毛病——它受量纲影响。比如茅台和五粮液，价格都是几百块，协方差可能很大；但茅台和一只几块钱的ST股，协方差可能很小。这不代表它们关系不紧密，只是量纲不同。

所以我们要用相关系数：

ρ = Cov(X,Y) / (σ_x * σ_y)

相关系数把协方差归一化到[-1, 1]之间。1代表完全正相关，-1代表完全负相关，0代表没关系。

我曾经踩过一个坑：用日频数据算协方差矩阵，结果发现矩阵不是正定的，回测直接报错。后来才意识到，当资产数量接近时间窗口长度时，协方差矩阵会变得不稳定。解决办法？要么拉长时间窗口，要么用收缩估计（Shrinkage）。

2.3 动量因子与反转因子的数学定义

轮动策略的核心，其实就是判断「谁强谁弱」。这里有两个经典因子：动量和反转。

动量因子，说白了就是「强者恒强」。数学定义很简单：

Momentum = (P_t / P_{t-n}) - 1

其中n是回溯期，常见的有3个月、6个月、12个月。我一般用6个月动量，因为3个月太短容易受噪音干扰，12个月又太迟钝。

反转因子正好相反，是「涨多了要跌，跌多了要涨」：

Reversal = - (P_t / P_{t-n}) + 1

你可能会问：这两个因子不是互为相反数吗？嗯，从公式上看确实如此。但实际应用中，动量和反转适用的时间尺度不同。动量在3-12个月有效，反转在1-4周有效。所以做轮动策略时，我通常用动量做中期选股，用反转做短期择时。

我记得有一次做A股轮动，用6个月动量选出了前20%的股票，再用1周反转做调仓信号，年化超额收益做到了8%以上。当然，那是2017年的事了，现在市场变了，参数也得跟着调。

2.4 夏普比率与信息比率

策略做出来了，怎么评价好坏？不能光看收益率，还得看风险。

夏普比率是最常用的指标：

Sharpe = (R_p - R_f) / σ_p

它衡量的是每承担一单位风险，能获得多少超额收益。夏普比率大于1算不错，大于2算优秀，大于3...嗯，你最好检查一下是不是数据出错了。

信息比率和夏普比率很像，但分母换成了跟踪误差：

IR = (R_p - R_b) / TE

其中R_b是基准收益，TE是跟踪误差（即超额收益的标准差）。信息比率衡量的是相对于基准，你的主动管理能力有多强。

我个人习惯，做绝对收益策略时看夏普比率，做相对收益策略时看信息比率。举个例子，如果你管理的是指数增强基金，基准是沪深300，那信息比率就是你的KPI。

指标	衡量什么	适用场景	优秀标准
夏普比率	风险调整后总收益	绝对收益策略	> 1.5
信息比率	主动管理能力	相对收益策略	> 0.5

2.5 本章知识体系

最后，我用一张图把今天的内容串起来。你想想看，整个轮动策略的数学基础，其实就是一条线：先算收益率，再算资产间关系，然后定义因子，最后评价策略。

嗯，今天的内容就到这里。数学基础打牢了，后面讲具体策略时你才能理解「为什么这么调仓」。记住，这些公式不是用来背的，是用来理解市场逻辑的。

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