2、相机成像原理：小孔成像模型、相机内参、相机外参、像素坐标系与图像坐标系

大家好，我是你们的老朋友。今天我们来聊聊三维重建里最基础、也最绕不开的一个话题——相机成像原理。

说实话，我刚开始做三维重建那会儿，觉得这东西不就是拍照嘛，有啥好研究的？结果第一次做标定，数据怎么都对不上，折腾了三天才发现是坐标系搞反了。嗯，从那以后，我再也不敢小看这个“小孔成像”了。

2.1 小孔成像模型——相机最朴素的“眼睛”

你想想看，最早的相机长什么样？就是一个黑盒子，前面戳个小孔，后面放块感光板。光线从小孔穿过去，在后面的板上形成一个倒立的像。这就是小孔成像模型。

为什么我们还在用这个模型？说白了，现代相机虽然复杂，但核心原理没变。只不过把小孔换成了透镜，把感光板换成了CMOS传感器。

我在项目中遇到过一个问题：用手机拍一个近处的物体，边缘总是模糊。后来发现，小孔成像模型在近距离时误差很大，必须用更复杂的模型去修正。

2.2 相机内参——相机自己的“身份证”

相机内参，说白了就是描述相机内部光学特性的参数。每个相机都有自己的内参，就像每个人的指纹一样。

主要包括三个东西：

• 焦距（fx, fy）：单位是像素。注意，不是物理焦距，是像素焦距。我刚开始总搞混，后来记住一句话：物理焦距除以像素尺寸，就是像素焦距。
• 主点（cx, cy）：光轴与成像平面的交点。理想情况下在图像中心，但实际总有偏差。
• 畸变参数：径向畸变和切向畸变。镜头不是完美的，总会有点扭曲。

内参矩阵长这样：

K = [fx  0  cx]
    [ 0  fy  cy]
    [ 0   0   1]

这个矩阵把三维空间中的点映射到二维图像上。你想想看，如果没有这个矩阵，我们根本不知道像素点对应现实世界的哪个方向。

2.3 相机外参——相机在空间中的“位置和姿态”

外参描述的是相机在世界坐标系中的位置和朝向。说白了，就是相机放在哪里、朝哪个方向拍。

外参由两部分组成：

• 旋转矩阵 R：3x3的矩阵，描述相机的朝向。我习惯用欧拉角来理解，但实际计算时用旋转矩阵更方便。
• 平移向量 t：3x1的向量，描述相机的位置。

外参矩阵长这样：

[R | t] = [r11 r12 r13 | tx]
          [r21 r22 r23 | ty]
          [r31 r32 r33 | tz]

我曾经犯过一个错误：把旋转矩阵和平移向量的顺序搞反了。结果重建出来的模型，所有物体都歪了45度。嗯，从那以后我每次写代码都会先检查一下矩阵的维度。

2.4 像素坐标系与图像坐标系——两个容易搞混的“坐标系”

这两个坐标系，我刚开始学的时候总觉得差不多。后来发现，差远了。

• 图像坐标系：以图像中心为原点，单位是物理长度（毫米）。
• 像素坐标系：以图像左上角为原点，单位是像素。

它们之间的转换关系很简单：

u = x / dx + cx
v = y / dy + cy

其中 (u, v) 是像素坐标，(x, y) 是图像坐标，dx、dy 是每个像素的物理尺寸。

2.5 知识体系总览

为了让大家更直观地理解这些概念之间的关系，我画了一张图：

这张图把整个知识体系串起来了。你从最上面的小孔成像模型出发，往下分成了内参和外参两个分支，最后汇聚到像素坐标系和图像坐标系。说白了，整个三维重建的数学基础，就是这张图。

2.6 实战中的一点感悟

我记得有一次做双目视觉标定，两个相机的内参标出来差别很大。我一开始以为是相机坏了，后来发现是标定板没放平。嗯，标定这件事，细节决定成败。

给大家三个建议：

1. 标定前先检查相机：看看镜头有没有灰尘，CMOS有没有坏点。我吃过这个亏。
2. 多拍不同角度：标定板要覆盖整个视野，不要只拍中间。
3. 验证标定结果：用标定好的参数去投影几个已知点，看看误差有多大。

好了，这一章的内容就到这里。记住：小孔成像模型是基础，内参描述相机本身，外参描述相机位置，像素和图像坐标系是最后一步。把这几个概念理清楚，后面的三维重建就好办了。

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