第4章时间编码之相移法

时间编码之相移法：三步相移、四步相移、多频外差原理

各位同学，今天我们来聊聊结构光编码里一个非常经典的方法——相移法。说实话，我在刚入行那会儿，觉得相移法挺玄乎的，不就是几幅正弦条纹图嘛，怎么就能算出三维坐标了？后来亲手搭了一套系统，踩了不少坑，才真正理解它的精髓。

相移法属于时间编码的一种。你想想看，空间编码是一次拍一张图，时间编码则是拍多张图，利用时间维度来编码信息。好处很明显——精度高，抗干扰能力强。坏处嘛，就是被测物体得保持静止。嗯，这里要注意，如果物体在动，相移法基本就废了。

三步相移，顾名思义，就是拍三张条纹图。每张图之间的相位差是120度，也就是2π/3。为什么是三步？因为三个方程解三个未知数——背景光强、调制光强、还有我们最想要的相位。

数学上长这样：

I1(x,y) = A(x,y) + B(x,y) * cos[φ(x,y) - 2π/3]
I2(x,y) = A(x,y) + B(x,y) * cos[φ(x,y)]
I3(x,y) = A(x,y) + B(x,y) * cos[φ(x,y) + 2π/3]

解出来的相位公式是：

φ(x,y) = arctan[ √3 * (I1 - I3) / (2*I2 - I1 - I3) ]

我个人习惯用三步相移做快速标定。为什么？因为少拍一张图，速度快。但代价是什么？噪声敏感度比四步相移高。我在项目中遇到过，环境光稍微有点波动，三步相移解出来的相位就毛毛躁躁的。

小技巧：三步相移适合对速度要求高、但精度要求不那么苛刻的场景。比如在线检测，每分钟要测几百个零件，三步相移就比四步相移有优势。

四步相移，每步相差90度（π/2）。四张图，四个方程，解三个未知数——这是个超定方程组，有冗余。冗余意味着什么？意味着更鲁棒。

四步相移的条纹图：

I1 = A + B * cos(φ - 3π/4)
I2 = A + B * cos(φ - π/4)
I3 = A + B * cos(φ + π/4)
I4 = A + B * cos(φ + 3π/4)

相位解算公式：

φ(x,y) = arctan[ (I4 - I2) / (I1 - I3) ]

你看，这个公式比三步相移的漂亮多了。没有√3，没有系数，计算量也小。而且四步相移对二阶非线性误差有天然的抑制能力。我曾经做过对比实验，同样的投影仪和相机，四步相移的相位均方根误差比三步相移低了差不多30%。

避坑指南：我曾经犯过一个低级错误——投影仪的gamma非线性没校正，直接上四步相移。结果解出来的相位有周期性波纹，怎么调都消不掉。后来才意识到，相移法对投影仪的线性度要求很高。所以，做相移法之前，一定要先做gamma校正。

好，现在问题来了。不管是三步还是四步相移，解出来的相位都是包裹相位——范围在[-π, π]之间。说白了，就是相位被折叠了，你不知道它是第几个周期。这就叫相位解包裹问题。

多频外差法，就是用来解决这个问题的。它的核心思想很简单：投影不同频率的条纹，利用频率之间的差频来得到一个等效的低频条纹，从而确定绝对相位。

假设我们投影两种频率的条纹：

外差后的等效频率：

f_eq = |f1 - f2|

等效相位：

φ_eq = φ1 - φ2

如果f1和f2选得合适，f_eq可以做到全场只有一个周期。这样，φ_eq就是绝对相位，不需要解包裹了。

我常用的频率组合是：

你想想看，如果只用双频外差，等效频率是6，意味着全场有6个周期，还是需要解包裹。但如果你用三频外差，先做一次外差得到10个周期，再做一次外差得到1个周期——全场唯一，完美解决。

  核心要点：多频外差的本质是用时间换空间。你投影的条纹越多，解包裹越可靠，但测量时间也越长。实际项目中，我一般推荐三频四步相移——三个频率，每个频率四步相移，总共12张图。精度和速度的平衡点，我个人觉得这个组合最舒服。

说了这么多，我们来梳理一下相移法的完整流程。我画了一张图，方便你理解整个知识体系：

从图上你可以看到，相移法的核心就两个阶段：相位解算和相位解包裹。相位解算靠三步或四步相移，相位解包裹靠多频外差或空间展开。我个人更推荐多频外差，因为它逐像素独立处理，不会像空间解包裹那样出现误差传播——一个点错了，后面全错。

实战建议：如果你刚开始搭建相移法系统，我建议从四步相移+三频外差开始。四步相移抗噪好，三频外差解包裹可靠。等把流程跑通了，再根据实际需求去优化——比如换成三步相移提速度，或者换成双频外差减少投影张数。

好了，相移法的核心内容就这些。说白了，三步相移和四步相移是获取包裹相位的手段，多频外差是解开包裹相位的钥匙。三者结合，才能得到完整的绝对相位，进而重建出三维形貌。下次你看到那些条纹投影的三维扫描仪，心里就有数了——背后就是这套原理。