3. 投影仪成像模型
投影仪怎么建模？这个问题我刚开始做结构光时也困惑过。
相机我们很熟悉——光线从物体反射进入镜头，在传感器上成像。投影仪呢？它刚好反过来：从DMD或LCD芯片发出光线，经过镜头投射到物体表面。说白了，投影仪就是一个「倒着用的相机」。
3.1 投影仪逆相机模型
这个想法很直接：把投影仪的DMD芯片看作相机的传感器，把投影镜头看作相机的镜头。光线方向相反而已。
数学上怎么表达？
// 相机模型（世界→像素）
λ * [u, v, 1]^T = K * [R|t] * [X, Y, Z, 1]^T
// 投影仪模型（世界→投影仪像素）
λ' * [u_p, v_p, 1]^T = K_p * [R_p|t_p] * [X, Y, Z, 1]^T你看，公式长得一模一样。区别在于：
- 相机是「接收」光线，投影仪是「发射」光线
- 相机的像素坐标是图像坐标，投影仪的像素坐标是编码图案坐标
- 相机的内参描述传感器和镜头关系，投影仪的内参描述DMD芯片和镜头关系
核心理解：投影仪逆相机模型不是近似，是严格的数学对偶。你给相机标定写的代码，改改参数就能给投影仪用。
3.2 投影仪内参与外参
投影仪的内参矩阵长这样：
K_p = [fx_p 0 cx_p
0 fy_p cy_p
0 0 1 ]参数含义：
- fx_p, fy_p：投影仪在x和y方向的等效焦距（单位：像素）
- cx_p, cy_p：投影仪主点坐标（DMD芯片中心在像素坐标系中的位置）
外参呢？投影仪外参描述的是投影仪坐标系相对于世界坐标系的旋转和平移：
R_p = 3×3 旋转矩阵
t_p = 3×1 平移向量我遇到过一个问题：投影仪内参的物理意义和相机完全一样，但实际标定时投影仪的「成像」是虚拟的——我们看不到投影仪拍到的图像。这就引出了投影仪标定的核心难点：如何获取投影仪视角下的「虚拟图像」。
我的经验：投影仪内参的fx和fy通常不相等，因为DMD芯片的像素不是正方形。我见过很多新手直接假设fx=fy，结果重建出来的点云变形严重。
3.3 投影仪畸变模型
投影仪镜头也有畸变，和相机一模一样。常用的畸变模型：
// 径向畸变（Brown模型）
x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
// 切向畸变
x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]参数：
- k1, k2, k3：径向畸变系数
- p1, p2：切向畸变系数
注意：投影仪的畸变通常比相机更明显。为什么？因为投影镜头为了做大光圈、大视场角，光学设计上做了妥协。我曾经标定过一个DLP投影仪，它的径向畸变k1值达到0.15，而同价位的相机镜头一般只有0.02左右。
畸变校正的流程：
- 标定得到畸变系数
- 对投影仪像素坐标做畸变校正
- 用校正后的坐标计算投影光线
嗯，这里要注意：畸变校正是在投影仪像素域做的，不是在3D空间。顺序搞反了，结果全错。
3.4 投影仪与相机的对偶性
这个对偶性不只是数学上的，物理上也有体现：
| 特性 | 相机 | 投影仪 |
|---|---|---|
| 光线方向 | 物体→传感器 | DMD→物体 |
| 成像元件 | CCD/CMOS | DMD/LCD |
| 像素坐标 | 图像坐标 | 编码图案坐标 |
| 标定目标 | 获取内参+外参 | 获取内参+外参 |
| 畸变模型 | 径向+切向 | 径向+切向 |
你想想看，这个对偶性给我们带来了什么好处？
- 标定算法可以复用——OpenCV的calibrateCamera改改就能用
- 畸变校正代码完全一样
- 三角测量时，相机和投影仪的光线方程形式统一
但有个坑：投影仪不能自己看到标定板。所以我们需要借助相机来「帮」投影仪完成标定。具体怎么做？
常用的方法是：
- 相机先标定好（内参+外参）
- 投影仪投射编码图案到标定板上
- 相机拍摄标定板上的图案
- 通过解码得到投影仪像素和3D点的对应关系
- 用这些对应关系标定投影仪
关键点：投影仪标定的本质，就是建立「投影仪像素坐标 ↔ 3D世界坐标」的映射。相机在这里充当了「中介」的角色。
我个人习惯把投影仪和相机看作一对「双胞胎」——结构相同，参数不同，但需要协同工作。标定时，我通常会同时优化两者的参数，做联合标定。这样精度更高，因为考虑了相机和投影仪之间的相对位姿误差。
最后说一句：投影仪逆相机模型不是完美的。实际中，投影仪的景深比相机浅，边缘亮度衰减更明显。但这些是物理限制，不是模型问题。模型本身是严谨的，放心用。