1. 坐标系与刚体运动基础

各位同学好，我是你们这门课的主讲。今天咱们来聊聊多旋翼建模最基础、也最绕不开的一块——坐标系和刚体运动。

说实话，我刚开始做飞控那会儿，觉得坐标系这东西太简单了，不就是几个箭头嘛。结果第一次调参炸机，查了半天才发现是坐标系定义搞反了。嗯，从那以后，我再也不敢小看这个基础了。

1.1 为什么需要坐标系？

你想想看，无人机在天上飞，它得知道自己「在哪儿」、「朝哪儿」、「怎么动」。这些信息必须有个参考基准。就像你说「我在你前面3米」，这个「前面」得有个定义对吧？

在多旋翼建模里，我们主要用两套坐标系：

• 惯性坐标系（也叫地面坐标系、世界坐标系）—— 固定在大地上的参考系
• 机体坐标系 —— 固定在无人机身上的参考系，跟着飞机一起转

这两者之间的转换关系，就是整个建模的核心。

1.2 惯性坐标系（I系）

我习惯用 O_I - X_IY_IZ_I 来表示。原点选在地面某点，比如起飞点。

• X_I 轴：指向正北（或者任意固定方向）
• Y_I 轴：指向正东（右手定则确定）
• Z_I 轴：指向地心（也就是「向下」）

这里有个坑，我踩过。很多教材用「北东地」坐标系，但有些飞控用「东北天」。你写代码的时候一定要看清楚，不然姿态解算出来全是反的。

1.3 机体坐标系（B系）

机体坐标系用 O_B - X_BY_BZ_B 表示。原点在飞机的重心。

• X_B 轴：指向机头方向
• Y_B 轴：指向飞机右侧
• Z_B 轴：指向飞机下方（符合右手定则）

说白了，你坐在飞机驾驶舱里，往前看是X_B，往右看是Y_B，脚底下是Z_B。这个定义在大部分开源飞控里都是通用的。

1.4 欧拉角定义

欧拉角是用来描述「机体坐标系相对于惯性坐标系」的姿态的。三个角度：

角度	符号	定义	范围
横滚角	φ (phi)	绕XB轴旋转的角度	-π ~ π
俯仰角	θ (theta)	绕YB轴旋转的角度	-π/2 ~ π/2
偏航角	ψ (psi)	绕ZB轴旋转的角度	-π ~ π

这里有个关键点：旋转顺序。我习惯用 Z-Y-X 顺序（先偏航、再俯仰、最后横滚）。为什么？因为这是航空航天领域的惯例，也是大部分飞控的默认顺序。

1.5 旋转矩阵推导

旋转矩阵说白了，就是把一个向量从机体坐标系「翻译」到惯性坐标系（或者反过来）。

咱们先看绕单个轴的旋转矩阵：

// 绕Z轴旋转 ψ 角
R_z(ψ) = [cosψ  -sinψ   0]
         [sinψ   cosψ   0]
         [0      0      1]

// 绕Y轴旋转 θ 角
R_y(θ) = [cosθ   0   sinθ]
         [0      1   0   ]
         [-sinθ  0   cosθ]

// 绕X轴旋转 φ 角
R_x(φ) = [1   0      0   ]
         [0   cosφ  -sinφ]
         [0   sinφ   cosφ]

按照 Z-Y-X 顺序，从机体到惯性的旋转矩阵就是：

R_IB = R_z(ψ) * R_y(θ) * R_x(φ)

展开后：
R_IB = [cosθcosψ  sinφsinθcosψ-cosφsinψ  cosφsinθcosψ+sinφsinψ]
       [cosθsinψ  sinφsinθsinψ+cosφcosψ  cosφsinθsinψ-sinφcosψ]
       [-sinθ     sinφcosθ               cosφcosθ            ]

这个矩阵你最好手推一遍。我当年就是偷懒直接抄公式，结果有一次需要转置的时候搞混了，又炸了一架机。

1.6 四元数基础

欧拉角有个致命问题——万向锁。当俯仰角θ接近±90°时，横滚和偏航就分不清了。你想想看，飞机垂直朝上飞的时候，你还能分清「横滚」和「偏航」吗？

所以实际飞控里，我们更常用四元数。

四元数长这样：

q = q0 + q1*i + q2*j + q3*k

其中：
q0^2 + q1^2 + q2^2 + q3^2 = 1  （归一化条件）
i^2 = j^2 = k^2 = i*j*k = -1

用四元数表示旋转，其实就是绕某个轴转某个角度。假设绕单位向量 u = (u_x, u_y, u_z) 旋转 θ 角：

q = [cos(θ/2), u_x*sin(θ/2), u_y*sin(θ/2), u_z*sin(θ/2)]

四元数转旋转矩阵的公式：

R(q) = [1-2(q2^2+q3^2)   2(q1q2-q0q3)     2(q1q3+q0q2)  ]
       [2(q1q2+q0q3)     1-2(q1^2+q3^2)   2(q2q3-q0q1)  ]
       [2(q1q3-q0q2)     2(q2q3+q0q1)     1-2(q1^2+q2^2)]

1.7 本章知识体系总览

下面这张图，是我自己梳理的本章知识结构。你把它存下来，后面学动力学和控制的时候，随时回来对照。

这张图把本章的核心逻辑串起来了：从两套坐标系出发，到三种姿态描述方法，最后落到实际应用。你学完后面几章再回来看这张图，会有更深的理解。

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好了，坐标系和刚体运动的基础就讲到这里。这些东西看着简单，但真到了写代码、调参数的时候，每一个细节都可能让你栽跟头。我建议你：

1. 自己手推一遍旋转矩阵
2. 写个四元数归一化的小函数
3. 在仿真里试试欧拉角在俯仰90°时的表现

这些基本功打扎实了，后面学动力学和控制才会顺手。