第3章动力学方程

3、动力学方程：牛顿-欧拉方程、平动动力学、转动动力学、惯性张量计算、力矩分析

好，咱们进入正题。多旋翼的动力学，说白了就是回答两个问题：它怎么飞起来？它怎么转起来？

第一个问题归牛顿管，第二个问题归欧拉管。合在一起，就是经典的牛顿-欧拉方程。我个人习惯把这两部分拆开看，先搞平移，再搞旋转，这样脑子不容易乱。

你想想看，多旋翼在空中运动，无非就是两种：位置变化和姿态变化。位置变化看质心，姿态变化看绕质心的转动。

牛顿第二定律告诉我们：

m * a = F  （合外力 = 质量 × 加速度）

欧拉方程告诉我们：

I * α + ω × (I * ω) = M  （合外力矩 = 惯性张量 × 角加速度 + 陀螺效应项）

嗯，这里要注意，欧拉方程里那个 ω × (I * ω) 可不是闹着玩的。我在项目中遇到过，有人把这一项漏了，结果仿真出来的姿态在高转速下直接发散。说白了，这就是陀螺力矩，你旋翼转得越快，它越明显。

  核心要点： 牛顿方程管平动，欧拉方程管转动。两者通过姿态矩阵耦合在一起。

多旋翼在空中的受力，其实挺单纯的。我列一下：

所以平动动力学方程写出来就是：

m * dV/dt = R * [0, 0, T]^T - [0, 0, mg]^T - D

其中 R 是机体坐标系到惯性系的旋转矩阵，T 是总拉力，D 是阻力向量。

我曾经在调试一个六轴的时候，发现飞机总是往一边偏。查了半天，原来是阻力模型没建对。你想想看，风大的时候，阻力项的影响甚至比拉力还大。

避坑指南： 平动动力学里，旋转矩阵 R 的更新一定要用当前的姿态角实时计算。我见过有人用固定矩阵，结果仿真和实际飞行的轨迹差了十万八千里。

转动比平动复杂一些。多旋翼的力矩来源主要有三个：

转动动力学方程（在机体坐标系下）为：

I * dω/dt + ω × (I * ω) = M

这里 ω = [p, q, r]^T 是机体角速度，M 是合外力矩。

我记得有一次做高机动性飞行测试，飞机突然剧烈抖动。排查下来，是陀螺力矩项在高速滚转时被忽略了。说白了，你飞得越猛，这一项越不能省。

惯性张量 I 是一个 3×3 的矩阵，它描述了质量分布对转动的影响。对于多旋翼，我们通常假设机体关于 XZ 和 YZ 平面对称，所以非对角线元素为 0。

简化后的惯性张量：

I = [Ixx, 0,   0
     0,   Iyy, 0
     0,   0,   Izz]

怎么算？我一般用两种方法：

注意： 惯性张量一定要在质心处计算。如果参考点不在质心，需要用到平行轴定理进行平移。我曾经因为忘记平移，导致仿真出来的角加速度完全不对。

力矩分析，说白了就是搞清楚每个旋翼产生的力矩怎么合成。以四旋翼为例：

旋翼编号	位置（前/后/左/右）	旋转方向	对滚转的贡献	对俯仰的贡献	对偏航的贡献
1	右前	顺时针	+L * F1	+L * F1	-k * F1
2	左前	逆时针	-L * F2	+L * F2	+k * F2
3	右后	逆时针	+L * F3	-L * F3	+k * F3
4	左后	顺时针	-L * F4	-L * F4	-k * F4

其中 L 是旋翼到质心的距离，k 是反扭矩系数。这个表就是控制分配矩阵的物理基础。

我建议你把这个表背下来。每次做控制分配时，心里默念一遍，不容易出错。

  总结一下： 动力学方程是飞控算法的“根”。平动动力学告诉你飞机怎么走，转动动力学告诉你飞机怎么转，惯性张量是转动的“惯性”，力矩分析是控制的“输入”。把这四块吃透了，建模就算入门了。