第4章激励轨迹设计

4. 激励轨迹设计：傅里叶级数轨迹、优化准则、持续激励条件

好，咱们进入辨识实操中最关键的一环——激励轨迹设计。

说实话，很多刚入行的工程师觉得动力学参数辨识嘛，不就是让机器人随便动一动，然后采集数据、最小二乘拟合就完事了？大错特错。 我见过太多这样的案例：数据采了一大堆，辨识出来的参数却完全没法用，补偿上去反而抖得更厉害。

问题出在哪？激励不够。 你的轨迹没有把机器人的动力学特性“激活”出来。

打个比方：你想测一个人的百米冲刺能力，结果你让他慢悠悠散步。你采集到的数据里，加速度项、科里奥利项几乎为零，你怎么可能辨识出准确的惯性参数？

所以，激励轨迹设计是辨识工作的前置条件，也是决定成败的关键一步。

激励轨迹的形式有很多种：阶跃信号、正弦扫频、多项式轨迹……但我在实际项目中用得最多的，还是傅里叶级数轨迹。

为什么？三个原因：

傅里叶级数轨迹的通用形式是这样的：

q_i(t) = q_i0 + Σ [a_i,k * sin(k*ω_f*t) + b_i,k * cos(k*ω_f*t)]

其中：

我个人习惯把基频设得低一些，比如 0.1 Hz 左右。这样每个周期有足够的时间让机器人充分运动，数据量也够用。

小技巧：谐波次数 N 一般取 5~10 就够了。太高了容易激发关节柔性模态，太低则激励不充分。我一般从 N=6 开始试。

有了轨迹的数学形式，接下来就是优化。你不能随便给一组系数就完事了——你得让轨迹“好”。

那什么叫“好”？

说白了，就是让观测矩阵 Y 的条件数尽可能小。条件数越小，说明各参数之间的耦合越弱，辨识结果对噪声越不敏感。

我常用的优化准则有这几个：

我在项目里最常用的是条件数最小化。为什么？因为它直观。条件数小于 10，我就觉得心里有底了。如果条件数超过 100，那这个轨迹基本不能用，辨识出来的参数肯定有问题。

注意：优化过程中一定要加约束条件。包括关节位置极限、速度极限、加速度极限、力矩极限。我曾经有一次忘了加加速度约束，优化出来的轨迹加速度峰值超过了电机额定值，结果一跑就报警。

好，现在你有了优化好的傅里叶轨迹，条件数也很漂亮。但这就够了吗？

还不够。你还需要检查一个更根本的条件——持续激励条件（Persistent Excitation, PE）。

持续激励条件说的是：在整个运动过程中，观测矩阵 Y 的列向量要能张满整个参数空间。换句话说，机器人的运动要足够“丰富”，不能只在一个子空间里晃悠。

数学上，持续激励条件可以表述为：存在正数 α、β 和 T₀，使得对于任意 t₀，有：

α * I ≤ ∫(t₀ to t₀+T₀) Y^T(τ)Y(τ) dτ ≤ β * I

嗯，这个式子看着有点吓人。但实际中你不需要严格去验证这个积分不等式——太麻烦了。

我一般用两个工程手段来保证持续激励：

多轨迹组合：不要只跑一条轨迹。跑 3~5 条不同频率、不同幅值的轨迹，然后把数据拼起来辨识。
检查参数可辨识性：在辨识之前，先做一次可辨识性分析。把 Y 矩阵做 SVD 分解，看看哪些参数对应的奇异值接近零——那些参数就是不可辨识的，需要合并或剔除。

  核心经验：持续激励条件不满足时，最典型的症状就是——辨识出来的参数物理意义不对。比如连杆质量变成负数，或者惯量矩比理论值大了一个数量级。如果你看到这种结果，别急着调算法，先回去检查你的激励轨迹。

好了，理论讲完了。我分享一下我在实际项目中的操作流程：

这个流程我用了好多年，基本没出过大问题。

下面这张图总结了激励轨迹设计的核心逻辑：

你看，这三个模块是环环相扣的。傅里叶级数提供了轨迹的数学形式，优化准则帮你找到最优系数，持续激励条件则从理论上保证了辨识的可行性。缺一个，你的辨识结果都可能翻车。

我的建议：刚开始做辨识的朋友，别一上来就搞复杂的优化。先用一条简单的傅里叶轨迹跑通整个流程，看看数据长什么样，感受一下“好数据”和“坏数据”的区别。有了手感，再上优化器。

好了，关于激励轨迹设计，核心内容就这些。记住：轨迹设计花的时间，会在辨识精度上十倍地回报你。别省这一步。