车辆运动学基础：自行车模型

做路径规划，绕不开一个经典模型——自行车模型。说白了，就是把四轮车简化成两轮车。你想想看，我们真正关心的是车怎么转弯、怎么前进，而不是四个轮子各自的转向角。所以，把左右前轮合并成一个虚拟前轮，左右后轮合并成一个虚拟后轮，这就是自行车模型的核心思想。

我个人习惯在项目初期先用这个模型做快速验证。为什么？因为它简单、直观，计算量小。我在做园区低速自动驾驶时，第一版路径规划就是基于自行车模型跑的，效果还不错。

模型推导

先看几个关键参数。我们定义：

• L：轴距（前后轮中心距离）
• δ：前轮转向角
• θ：车身航向角
• v：后轮中心速度

假设车辆在平面上运动，后轮没有侧滑。那么后轮中心的运动方向就是车身朝向。前轮呢？前轮的运动方向是转向角方向。

嗯，这里要注意：我们假设轮胎是刚性的，没有侧偏。这在低速场景下基本成立，但高速时就不太准了。我曾经在高速变道测试中吃过这个亏，后面会讲到。

推导过程其实不复杂。后轮中心位置记为 (x, y)，那么：

dx/dt = v * cos(θ)
dy/dt = v * sin(θ)
dθ/dt = v * tan(δ) / L

第三个公式是关键。它告诉我们：航向角的变化率，取决于速度、转向角和轴距。轴距越长，转弯越迟钝——开过大车的人应该深有体会。

状态空间表示

把上面的微分方程写成状态空间形式，方便我们做控制和分析。状态向量选为：

X = [x, y, θ, δ]^T

控制输入是：

U = [v, ω_δ]^T

其中 ω_δ 是转向角变化率。为什么要把转向角也放进状态里？因为实际车辆的转向机构有响应延迟，不能瞬间跳变。我在做泊车路径规划时，如果不考虑这个延迟，生成的路径根本执行不了——方向盘还没转到目标角度，车已经开过头了。

完整的状态空间方程：

dx/dt = v * cos(θ)
dy/dt = v * sin(θ)
dθ/dt = v * tan(δ) / L
dδ/dt = ω_δ

这个模型有4个状态、2个输入。你可以把它离散化后用于MPC（模型预测控制）或者纯跟踪控制。

前轮驱动 vs 后轮驱动

很多人以为自行车模型不分前驱后驱。其实不然。区别在于：

特性	前轮驱动	后轮驱动
驱动力位置	前轮	后轮
转向轮	前轮（驱动+转向）	前轮（仅转向）
运动学模型差异	前轮速度方向受驱动力影响	后轮速度方向始终沿车身朝向
低速操控性	转向不足倾向	转向过度倾向

我实际测试过两种车型。前驱车在低速转弯时，如果突然加速，车头会往外推——这就是转向不足。后驱车呢？大脚油门过弯，车尾会甩出去——转向过度。这两种特性在路径规划中必须考虑。

具体到运动学模型：

• 后轮驱动模型：就是我们上面推导的那个。后轮速度 v 是控制输入，前轮只负责转向。这是最常用的模型，因为大多数乘用车是前轮转向+后轮驱动（或四驱）。
• 前轮驱动模型：驱动力在前轮，所以前轮速度方向是驱动力和转向力的合成。模型会复杂一些，需要引入前轮滑移角。

避坑指南

我曾经在一个项目中，直接用自行车模型做高速（60km/h以上）路径跟踪。结果呢？车辆在弯道里一直偏外，怎么调参数都不行。后来才发现，高速时轮胎侧偏不可忽略，必须用动力学模型。

所以我的建议是：

1. 低速（<30km/h）：自行车模型完全够用，比如泊车、园区低速物流。
2. 中速（30-60km/h）：可以加一个侧偏角补偿，或者用扩展运动学模型。
3. 高速（>60km/h）：老老实实用动力学模型，别偷懒。

另外，自行车模型假设路面是平坦的。如果你做的是越野路径规划，还得考虑坡度、侧倾等因素。嗯，那是另一个话题了。

好了，这一章就到这里。自行车模型是路径规划的基石，理解透了，后面的内容会轻松很多。下一章我们聊聊如何用这个模型做路径生成——说白了，就是怎么让车从A点优雅地开到B点。