第4章 数字信号处理基础：离散时间信号与系统、Z变换基础、数字滤波器设计（FIR/IIR）、定点与浮点运算
各位同学，欢迎来到第4章。说实话，这一章是OBC数字控制的“内功心法”。你想想看，我们天天跟ADC采样、PWM更新、电流环调节打交道，这些本质上都是在处理离散时间信号。如果这块基础不牢，后面写控制算法代码时，很容易掉坑里。
我个人习惯，在讲具体算法之前，先把这些数学工具理清楚。别怕，咱们不搞纯理论推导，我尽量用工程师的视角来讲。
4.1 离散时间信号与系统
什么叫离散时间信号？说白了，就是一连串的数字序列。比如你每隔10微秒采一次电流值，得到的就是离散信号。连续信号是x(t)，离散信号我们写成x[n]，n是整数索引。
我在项目中遇到过一个问题：采样率选低了，结果高频谐波混叠到低频，电流环怎么调都抖。后来才意识到，这是违反了奈奎斯特定理——采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
核心要点：
- 离散时间系统：输入x[n]，输出y[n]，系统对输入做某种运算
- 线性时不变系统（LTI）：最常用，叠加性和时不变性
- 单位脉冲响应h[n]：输入为δ[n]时的输出，决定了系统全部特性
判断一个系统是不是LTI，有个简单方法：看它有没有“记忆”。比如y[n] = 2x[n] + 3x[n-1]，这就是LTI。但y[n] = x[n]²，就不是线性系统。嗯，这里要注意，实际DSP算法里，我们几乎都在跟LTI系统打交道。
4.2 Z变换基础
Z变换，你可以把它理解成离散时间领域的拉普拉斯变换。为什么要学它？因为有了Z变换，差分方程就变成了代数方程，解起来方便多了。
定义式：X(z) = Σ x[n] z^{-n}，从n=0到∞。注意，我们通常用单边Z变换，因为实际信号都是因果的。
我记得刚入行时，总觉得Z变换很抽象。后来做数字滤波器设计，发现Z平面上的极点位置直接决定了系统稳定性——极点必须在单位圆内。这个结论太重要了，我建议你记牢。
实用技巧：
做OBC控制时，我们经常用双线性变换法把s域的传递函数映射到z域。公式是：s = (2/T) * (1-z^{-1})/(1+z^{-1})。T是采样周期。这个变换能保证频率响应特性基本不变，但要注意预畸变处理。
常见Z变换对，我列个表，你写代码时直接查：
| 时域序列 x[n] | Z变换 X(z) | 收敛域 |
|---|---|---|
| δ[n] | 1 | 全平面 |
| u[n]（单位阶跃） | 1/(1-z^{-1}) | |z| > 1 |
| a^n u[n] | 1/(1-az^{-1}) | |z| > |a| |
| n a^n u[n] | az^{-1}/(1-az^{-1})² | |z| > |a| |
4.3 数字滤波器设计（FIR/IIR）
做OBC，滤波器无处不在。电流采样要滤波，电压反馈要滤波，PLL也要滤波。滤波器分两大类：FIR和IIR。
FIR滤波器：有限脉冲响应，没有反馈。特点是绝对稳定，线性相位。但同样的指标，FIR需要的阶数比IIR高很多。
IIR滤波器：无限脉冲响应，有反馈。效率高，但可能不稳定，相位非线性。
我个人习惯，在电流环里用IIR，因为延迟小。在需要线性相位的场合（比如某些保护逻辑），用FIR。
避坑指南：
我曾经在调试一个OBC项目时，IIR滤波器系数算错了，导致系统在轻载时自激振荡。后来查了三天，才发现是极点跑到了单位圆外。所以，IIR设计完后，一定要检查极点位置！
设计方法上，我常用的是：
- FIR：窗函数法（汉明窗、凯泽窗），简单实用
- IIR：双线性变换法，从模拟滤波器（巴特沃斯、切比雪夫）转换过来
举个例子，设计一个50Hz陷波器，用于滤除电网工频干扰：
// 双线性变换法设计50Hz陷波器，采样率10kHz
// 模拟原型：s^2 + ω0^2
// 预畸变频率 ωd = tan(π*50/10000)
// 这里给出直接型IIR系数
float b0 = 0.9902f;
float b1 = -1.9604f;
float b2 = 0.9902f;
float a1 = -1.9604f;
float a2 = 0.9805f;
// 差分方程实现
y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + b2*x[n-2] - a1*y[n-1] - a2*y[n-2];
你看，代码就这么几行。但实际调试时，系数精度很关键。这就引出了下一个话题。
4.4 定点与浮点运算
DSP芯片分两类：定点DSP和浮点DSP。OBC里，成本敏感的项目用定点，比如TI的TMS320F28035；高性能项目用浮点，比如F28379D。
定点数，说白了就是用整数来模拟小数。比如Q15格式，16位有符号数，最高位符号位，剩下15位小数位。表示范围-1到1-2^{-15}。
浮点数就简单了，IEEE754标准，直接写小数。但运算慢，功耗高。
我的经验：
定点运算最怕溢出和精度丢失。我曾经在定点DSP上实现PI控制器，积分项累加时没做饱和处理，结果积分饱和导致系统失控。后来加了抗饱和逻辑才解决。
定点运算的几个关键点：
- 乘法后要左移或右移，恢复Q格式
- 加法要考虑溢出，用饱和指令
- 除法尽量用查表或近似算法
浮点运算虽然方便，但也不是万能的。我记得有一次，浮点DSP上跑滤波器，发现结果有微小抖动。查了半天，原来是浮点精度导致的条件数恶化。所以，浮点也不是银弹。
实用建议：
如果你用定点DSP，我建议把所有系数都归一化到[-1,1)区间，用Q15或Q31格式。这样乘法结果不会溢出。如果系数大于1，就拆成整数部分和小数部分分别处理。
最后，说个实战技巧：在定点DSP上调试时，先把算法在浮点环境下跑通，然后定点化。定点化后，用同样的输入数据对比输出，误差控制在1%以内就算合格。
好了，这一章的内容就这些。离散信号、Z变换、滤波器设计、定点浮点，这些是数字控制的四大基石。下一章我们开始讲PID控制的数字化实现，到时候你会用上今天学的所有东西。